4.Оценка текущей стоимости денежного потока пренумерандо с неравными поступлениями

Текущая стоимость денежного потока пренумерандо, состоящего из отдельных поступлений Р_к , где к = 1, 2, … , n, определяется на момент времени 0. Как видно из рисунка 8, каждый элемент денежного потока Р_к приводится по стоимости к текущему моменту времени (дисконтируется) в течение различных периодов времени.

Элемент Р₁ не дисконтируется, т.к. он имеет место непосредственно в момент времени 0. Элемент Р₂ наращивается в течение периода времени 1, поэтому его будущая стоимость РV₂, согласно формуле будет равна

РV₂ = P₂ / (1 + i_c)¹ . Элемент Р₃ наращивается в течение периода времени 2, поэтому его будущая стоимость РV₃, согласно формуле будет равна

РV₂ = P₂ / (1 + i_c)² и т.д. Последний элемент денежного потока Р_n будет дисконтироваться в течение промежутка времени равного n-1, а значит его будущая стоимость согласно формуле будет равна РV_n = Р_n / (1 + i_c)^n-1

Рис.10. Схема определения текущей стоимости денежного потока постнумерандо

Заметим, что каждый из элементов потока пренумерандо дисконтируется на один интервал начисления меньше, чем элемент аналогичного потока постнумерандо за тот же период. Это связано с тем, что в данном случае поступления/выплаты денежных средств имеют место в начале интервала начисления.

Текущая стоимость денежного потока постнумерандо РV_пост равна сумме текущих стоимостей его отдельных элементов РV_к. Таким образом, текущая стоимость всего денежного потока постнумерандо согласно проведенным расчетам определяется по формуле:

n P_k

РV_пре = å -------------

k=1 (1 + i_c)^k-1

3.7. Оценка аннуитетов

Аннуитет – частный случай денежного потока. Название "аннуитет" происходит от лат. annо (год), т.к. в начале рассматривались только ежегодные денежные поступления и выплаты. В настоящее время в качестве периода аннуитета может рассматриваться любой промежуток времени.

Аннуитет (финансовая рента) – поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последующими платежами в течение определенного периода времени. В аннуитетах все платежи равны между собой Р₁ = Р₂ = Р₃ = … = Р_n = Р_.

Обозначения:

FV_пост^а – будущая стоимость аннуитета постнумерандо;

FV_пре^а – будущая стоимость аннуитета пренумерандо;

РV_пост^а – текущаястоимость аннуитета постнумерандо;

РV_пре^а – текущая стоимость аннуитета пренумерандо;

P – величина отдельного поступления (платежа) по аннуитету или член ренты;

ic – сложная процентная ставка, по которой начисляется процент по аннуитету;

n – число платежей (поступлений) по аннуитету.

Период аннуитета – величина постоянного временного интервала между двумя последовательными платежами (поступлениями).

Поскольку аннуитет является частным случаем денежного потока, то для него справедливы все формулы оценки, которые были приведены выше. Учитывая, что в аннуитете все платежи/поступления равны между собой, можно вывести формулы для расчета будущей и текущей стоимости аннуитета.

Формула расчета будущей стоимости аннуитета постнумерандо:

_{n n}

FV_пост^a = åP_k (1 + i_c)^n-k = P å(1 + i_c)^n-k = P * K_ic,n,

^{k=1 k=1}

где K_ic,n – коэффициент наращения аннуитета постнумерандо или мультиплицирующий множитель. Значения коэффициентов наращения для различных процентных ставок i_c и различных периодов начисления n можно найти в специальных финансовых таблицах.

FV_post^a = P х K_ic,n

Существует формула расчета значений коэффициента наращения, которая позволяет вычислить наращенную сумму аннуитета при отсутствии финансовых таблиц:

1[(1 + i_c)ⁿ – 1] (1 + i_c)ⁿ - 1

K_ic,n = --------------------- = -----------------

(1 + i_c) – 1 i_c

Формула расчета текущей стоимости аннуитета пренумерандо:

PV_пост^а = P х a_ic,n

_n P_{k n} 1

PV_пост^а = å ------- = P å --------- = Р х a_ic,n

^k=1 (1 + i_c)^{k k=1} (1 + i_c)^k

где a_ic,n коэффициент дисконтирования аннуитета или дисконтирующий множитель. Значения коэффициентов дисконтирования для различных процентных ставок i_c и различных периодов начисления n можно найти в специальных финансовых таблицах.

Существует формула расчета значений коэффициента наращения, которая позволяет вычислить наращенную сумму аннуитета при отсутствии финансовых таблиц.

1 – (1 + i_c)^-n

a_ic,n = -----------------

i_c

Учитывая, что аннуитеты пренумерандо отличаются от аннуитетов постнумерандо тем, что в них платежи/поступления имеют место в начале каждого интервала начисления, выведем формулы расчета будущей и текущей стоимости аннуитета пренумерандо на основе формул, используемых для расчета стоимости аннуитетов постнумерандо.

Формула расчета будущей стоимости аннуитета пренумерандо

FV_пре^a = FV_постt^a (1 + i_c) = P х k_ic,n(1 + i_c)

Ф

PV_пре = PV_пост (1 + i_c) = PV_пост х a_ic,n (1 + i_c)

ормула расчета текущей стоимости аннуитета пренумерандо

Экономический смысл коэффициента наращения аннуитета (k_ic,n): коэффициент показывает, чему будет равна наращенная сумма срочного аннуитета постнумерандо с размером платежа в 1 денежную единицу с заданными параметрами i_c и n к концу срока его действия.

При этом предполагается, что производятся только начисления процентов, а их изъятие осуществляется по окончании срока аннуитета.

Экономический смысл коэффициента приведения (a_ic,n): показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере 1 денежной единицы и заданными параметрами i_c и n.

Сфера применения аннуитетов.

Формулы оценки аннуитетов постнумерандо используется для оценки будущей стоимости рентных платежей за пользование имуществом, а также для определения величины капитала, который сегодня следует вложить в банк для получения регулярных выплат в определенном размере в течение некоторого периода времени.

Схема аннуитета пренумерандо используется для исчисления суммы периодических банковских вкладов, которую клиент собирается вносить для накопления к определенному моменту времени достаточной суммы для совершения крупной покупки.