8.1.3.Управление по состоянию

Для ММ в ПС ( 7 .0 ) закон управления по состоянию имеет вид

,

( 8.0 )

где K - матрица пропорциональных отрицательных обратных связей (ООС).

Отсюда ММ замкнутой системы принимает вид

( 8.0 )

где ; если D = 0, то С_САУ = С.

Структура замкнутой САУ представлена на рис.  8 .1, здесь z ^-1 - блок задержки на 1 такт, пунктиром показан перенос узла для перехода к С_САУ.

Рис. 8.1. Структурная схема САУ с управлением по состоянию

Недостаток данной группы методов состоит в том, что при синтезе не учитывается распределение нулей ОУ, поэтому результаты проявляются только для собственного движения системы, когда u(t)=0 при x(t₀)0. Ясно также, что с помощью пропорциональных ОС нельзя получить систему с реальным астатизмом. Поэтому регуляторы по состоянию комбинируются с регуляторами вынужденного движения, например, с ПИ-регуляторами [3].

Методы этой группы различаются способом вычисления матрицы K.

1) Модальное управление. Ставится задача с помощью пропорциональной ОС по состоянию добиться желаемого распределения полюсов САУ. Задача всегда имеет решение (для одномерных ОУ оно единственное), если пара матриц (A_d, B_d) управляема. Методика задания желаемого распределения полюсов и вычисления матрицы ООС полностью аналогична непрерывным системам [2, 3]. На практике удобно сначала задавать желаемое распределение полюсов в непрерывной области, а затем для заданного периода квантования T делать их пересчет в дискретную область по формуле ( 7 .0 ).

2) Синтез абсолютно устойчивых систем. Если в качестве желаемого характеристического полинома замкнутой системы выбрать

,

( 8.0 )

где n - порядок ОУ, то полученная система будет иметь нулевые кратные полюсы в дискретной области , которым соответствуют полюсы в непрерывной области , т. е. степень устойчивости системы будет бесконечной. Такие системы называют абсолютно устойчивыми, с апериодическим переходным процессом, с конечным временем установления. Основное их свойство - затухание переходных процессов из произвольного начального состояния x(t₀)0 при u(t)=const за минимально возможное время, n тактов [2, 3]. Это свойство нулевых кратных корней используется также при синтезе дискретных динамических наблюдателей состояния.

3) Оптимальное линейное управление. Для бесконечного интервала времени интегральный квадратичный критерий оптимальности дискретной САУ имеет вид

,

( 8.0 )

где Q [nn] - неотрицательно определенная, а R [mm] - положительно определенная симметрические матрицы, т. е. , при любых ненулевых x[k] и u[k]; n - порядок системы; m - число входов.

Управление ( 8 .0 ) ищется на основании принципа максимума Л. С. Понтрягина из решения дискретного уравнения Риккати [3]

,

( 8.0 )

где S - решение уравнения ( 8 .0 ).

Матрица отрицательной обратной связи закона ( 8 .0 ) равна

.

( 8.0 )

Необходимым условием существования асимптотически устойчивой оптимальной системы является полная управляемость или стабилизируемость пары (A_d, B_d) с помощью ОС по состоянию, а достаточным - полная наблюдаемость пары (A_d, G), где G - матрица [nn] такая, что [3].

Известной трудностью является выбор элементов матриц Q и R критерия оптимальности ( 8 .0 ), связанных с требуемыми показателями качества САУ. Доказано, что любое значение квадратичной формы можно получить, задавая ее матрицу в диагональном виде. Обычно требуется задавать критерий оптимальности не для вектора состояния x[k], а для вектора выхода y[k], размерность которого бывает меньшей. Приравнивая

,

( 8.0 )

с учетом ( 7 .0 ), можно получить выражение для матрицы Q в виде [2]:

.

( 8.0 )

Для одномерных САУ матрицы L и R вырождаются в скаляры. Так как для ( 8 .0 ) имеет значение только их соотношение, то можно произвольно принять значение R=const > 0 и варьировать величину L от 0 до +, добиваясь желаемой формы переходного процесса.

8.2.Основные цели и задачи работы

Цель работы: изучение методов синтеза дискретно-непрерывных САУ.

В ходе выполнения лабораторной работы необходимо решить следующие задачи:

• синтезировать САУ с цифровым ПИД-регулятором;

• рассчитать модальное управление;

• получить абсолютно устойчивую систему;

• найти линейное оптимальное управление;

• сделать сравнительный анализ полученных результатов.

8.3.Программные средства выполнения работы

Для выполнения всех заданий настоятельно рекомендуется применение пакета MatLAB [4]. Рекомендации по использованию пакета см. в п. 7.3.

8.4.Исходные данные

Исходными данными являются результаты, полученные в л.р. № 7: матрицы непрерывной ММ условного ОУ, матрицы дискретных ММ в ПС и коэффициенты дискретных ПФ для двух значений периодов квантования T₁ и T₂, массивы значений испытательного гармонического сигнала u[kT₁] и u[kT₂].

8.5.Содержание работы

8.5.1.Синтез САУ с цифровым ПИД-регулятором

1) Построение ЛЧХ дискретной ММ. Используя функции MatLAB, получить коэффициенты ПФ разомкнутой системы с ПИД-регулятором ( 8 .0 ) для обоих периодов квантования T₁ и T₂. Начальные значения параметров регулятора принять , K_I =K_d=0. Построить на одном графике ЛЧХ обеих систем.

2) Из двух систем выбрать наиболее простой случай для дальнейшего синтеза, обосновать свой выбор.

3) Подобрать параметры регулятора для САУ с инженерными запасами устойчивости. Методику расчета параметров можно взять из [6]. В упрощенном виде она описана далее.

- Принять начальную величину

,

( 8.0 )

где - частота, на которой ЛФЧХ опускается ниже ординаты «-» на 10 градусов, или желаемая частота среза разомкнутой САУ, если ЛФЧХ не опускается ниже «-». Подставить в ПФ регулятора новое значение K_d и построить ЛЧХ. Необходимо, чтобы значение ЛФЧХ на желаемой частоте среза составило не менее . Если амплитуда всплеска ЛФЧХ недостаточна, изменить желаемую частоту среза и для нее повторить расчет.

- Умножить старое значение на величину :

,

( 8.0 )

где - значение ЛАЧХ на желаемой частоте среза, соответствующей необходимому запасу устойчивости по фазе.

Новое значение подставить в ПФ регулятора, построить ЛЧХ и проверить запасы устойчивости. Если они не соответствуют инженерным, то изменением по ( 8 .0 ) увеличить их значение.

- Принять начальную величину K_I и построить ЛЧХ.

,

( 8.0 )

где - частота, при которой фазовая характеристика находится выше ординаты «-45». Если запасы устойчивости уменьшились, уменьшить значение K­_I­­­.

Результирующие ЛЧХ распечатать или зарисовать в протокол.

4) Получить коэффициенты ПФ замкнутой САУ. Построить переходный процесс дискретной системы на единичный ступенчатый сигнал (с помощью функции dstep). Распечатать или зарисовать график в протокол.

5) По графику сделать анализ качества полученной САУ. Время переходного процесса t_ПИД и перерегулирование  занести в таблицу результатов.