Практическая работа № 1

Тема. Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методами Крамера , Гаусса, обратной матрицы. Действия с комплексными числами.

Цель работы:

Используя теоретический материал и образцы решения, закрепить навыки решения задач по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами»

Порядок выполнения работы:

16. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.П.

17. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

18. Сделайте выводы по результатам работы

Вариант№30

Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

,

.

Задание 2. Решить систему уравнений

методом Гаусса.  Решение.  Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками:

   

Полученная матрица описывает систему уравнений

эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно:

 

Убедимся в том, что полученный набор   обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

Задание 3. Решить систему уравнений методом обратной матрицы

                                                      x₁ - x₂ +  x₃ = 6,

                                                    2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

                                                      x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Решение. Обозначим

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку  , то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

                            x₁ = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

                            x₂ = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

                            x₃ = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, X = (1, -2, 3)

Задание 4. Выполнить операцию умножения комплексных чисел   и  .

Решение. Применяем формулу для умножения и получаем:

Вывод. В процессе выполнения данной работы я научился решать системы линейных уравнений различными методами и освоил правила выполнения арифметических действий с комплексными числами.