Раздел 3
Неопределённый и определённый интегралы
Тема 6.Интегральное исчисление функции одной переменной. ([1], гл.8, гл.9); ([2],гл.7, гл.8 ).
Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.
Разложение рациональных дробей на сумму простейших. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений.
Определение определённого интеграла, его свойства.
Формула Ньютона - Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
Несобственные интегралы на конечном и бесконечном интервалах.
Методические указания
Выпишите таблицу основных формул интегрирования. На примерах разберите метод подстановки и метод интегрирования по частям.
Важно понять определение определённого интеграла как предела интегральной суммы и вытекающие из него приложения к геометрическим и физическим задачам.
Вопросы для самопроверки
Определение первообразной и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.
Таблица основных интегралов.
Замена переменной в неопределённом интеграле.
Метод интегрирования по частям.
5.Определение определённого интеграла. Его геометрический смысл и свойства.
6.Формула Ньютона- Лейбница.
7.Вычисление площадей, длин дуг, объёмов с помощью определённого интеграла.
8.Несобственные интегралы первого и второго рода. Сходимость и расходимость.
Раздел 4
Тема 7.Обыкновенные дифференциальные уравнения.([1], гл.10, §57-64)
1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Частное и общее решения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
3. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Структура общего решения.
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Методические указания
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Уравнение, в котором содержится независимая переменная, искомая функция и её производные или дифференциалы, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: F (х, y, y') = 0 (уравнение первого порядка в неявной форме), или y ' = f (х, y) ( уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной), или
P(х, y) • dx + Q(х, y) • dy = 0 (дифференциальная форма).
Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение получается тождество.
Решение дифференциального уравнения называется общим решением, если оно содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Общее
решение дифференциального уравнения
первого порядка имеет вид y =
(
х, C), оно зависит от одной произвольной
постоянной С и является решением
уравнения при любом допустимом С.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, получаемое из общего решения при каком - либо определённом значении произвольной постоянной С.
Соотношение вида Ф(х, y, C)=0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка. Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной С, называется частным интегралом дифференциального уравнения.
Задача нахождения частного решения по начальным условиям называется задачей Коши.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка ставится следующим образом:
Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (х0) = y0 , где х0, y0 заданные значения независимой переменной х и
искомой функции y.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Графиком общего решения является семейство интегральных кривых.