1.21Группы симметрии и свойства веществ

Точечная группа симметрии вещества определяет симметрию физических свойств этого вещества. Поскольку значение физического свойства является непрерывной функцией от направлений , то оно характеризуется поверхностью физического свойства. Свойства симметрии дискретны , поскольку определяются поворотами на конечные углы. Поэтому свойства симметрии физического свойства должны включать в себя все элементы симметрии точечной группы вещества. По-другому, можно сказать, что физические свойства должны быть инвариантны относительно всех элементов симметрии вещества.

Физические свойства не зависят от трансляционной симметрии, поскольку индивидуальность вещества выражается в том, что его свойства симметрии постоянны в любых точках.

В первых главах было показано, что точечные группы можно представить как комбинацию группы перестановок и группы инверсий осей координат. Инвариантность свойств относительно элементов симметрии точечной группы вещества определяет правила выполнения этого принципа.

• Перестановки показывают, какие компоненты тензора физического свойства равны друг другу

• Инверсии осей координат показывают, какие компоненты тензора физического свойства равны нулю.

1.21.1 Полярно-векторные свойства веществ

Пример полярно-векторного свойства веществ является наличие в материале электрического поля с напряжённостью Е. Это сегнетоэлектрики и пироэлектрики. Полярный вектор меняет своё направление при инверсии системы координат и его проекции меняют свой знак:

123 E_x=E_x , 123 E_y= E_y , 123 E_z=E_z

Поэтому если в группе симметрии вещества имеется трёхмерная инверсия , то исходя из инвариантности свойств нужно заключить E_x= E_y= E_z=0. В таких веществах отсутствуют полярно-векторные свойства.

Полярно-векторные свойства существуют в веществах, у которых в группе симметрии отсутствует инверсии по осям. И существует в тех направлениях, в которых отсутствуют инверсии. Другими словами эти свойства существуют в тех группах, в которых имеются инварианты с нечётными функциями координат: x, y, z.

Это следующие группы : C_nv , C_n , n=6,4,3,2,1 (C_1vC_s).

Задача: Определить направление сегнетоэлектричества в группах С_nv (n=4, 6, 3).

Группы С_4v, С_6v имеют инвариант z и внутреннее электрическое поле E_x= E_y=0 , E_z0.

Группа С_3v имеет инвариант (x+y+z), поэтому электрическое поле направлено по оси [111].

Можно аналитически определить, сколько компонент полярного вектора можно наблюдать в группе симметрии. Для этого надо рассчитать:

(1.29) ,

где (G) –характер матрицы представления для элемента симметрии G, h-порядок группы или число элементов симметрии в группе, а- число компонентов полярного вектора не равных нулю.

Пример: 1.определить количество компонент полярного вектора для группы C_3v. В группе 6 элементов симметрии: 123, 213, 132, 321, 231, 312 и формула) будет: а=(3+1+1+1+0+0)/6=1.

2.Тоже для группы D₃: 123, 213, 132, 321, 231, 312 и а=(3-1-1-1+0+0)/6=0.

1.21.2. Свойства описывающиеся тензором второго ранга

Это свойство возникает при приложении к материалу внешнего векторного поля , при этом в материале возникает внутреннее векторное поле , величина которого определяется свойством материала. Это свойство описывается тензором второго ранга: V⁽¹⁾=* V⁽²⁾, где V⁽ⁱ⁾- полярный вектор внешнего и внутреннего поля, - свойство материала , которое представляется таблицей 3х3 с девятью значениями компонентов:

11	12	13
21	22	23
31	32	33

Структура этого тензора, т.е. отличные от нуля компоненты, определяются свойствами симметрии материала. Тензор должен быть инвариантным под воздействием всех элементов симметрии. Если какой-либо элемент симметрии приведёт к изменению матрицы тензора , то приравнивая эту матрицу к исходной можно определить равенство компонент нулю или другим компонентам. Здесь можно привести правила , по которым можно это сделать.

• Элементы симметрии с перестановками показывает какие компоненты тензора равны друг другу,

• Элементы симметрии с инверсиями показывают какие компоненты равны нулю,

• В тензоре имеется два типа элементов : диагональные и не диагональные с равными или не равными индексами.

Пример. Определить отличные от нуля компоненты тензора второго ранга для кристаллов с симметрией O_h.

Для диагональной компоненты можно записать равенство:

V⁽¹⁾₁=₁₁×V⁽²⁾₁ .

• Подействуем на обе стороны равенства элементом 123: 123V⁽¹⁾₁=₁₂×123V⁽²⁾₂. Инверсия оси х изменяет знаки х-проекций вектора V⁽¹⁾ , поэтому равенство будет V⁽¹⁾₁=-₁₂×V⁽²⁾₂ . Поскольку свойство не должно меняться , то это будет при условии ₁₂=0.

• Поскольку в группе имеются инверсии других осей, то также можно доказать, что все недиагональные элементы равны нулю.

• Подействуем на обе стороны равенства элементом 231: 231V⁽¹⁾₁=₁₁× 231V⁽²⁾₁. Этот элемент меняет ось х на ось у, поэтому изменятся проекции: V⁽¹⁾₂=₁₁×V⁽²⁾₂. С другой стороны , из определения тензора можно для этих проекций записать равенство: V⁽¹⁾₂=₂₂×V⁽²⁾₂. Поскольку при воздействии элемента симметрии кристалла свойство не должно меняться, то это будет при условии: ₁₁=₂₂.

• Используя элемент 312 можно показать , что ₁₁=₃₃.

Таким образом, тензор второго ранга имеет три равные друг другу и отличные от нуля компоненты.