2.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции и их производные непрерывны на отрезке , то имеет место формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

(20)

Порядок вычисления:

1. все подынтегральное выражение разбить на две части, одну обозначить символом , другую - (см. п. 1.4.2);

2. вычислить дифференциал функции и найти функцию по ее дифференциалу, интегрируя ;

3. применить формулу интегрирования по частям, проверив предварительно непрерывность функций .

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле применяется для тех же типов интегралов, что описаны в п. 1.4.2.

Пример 2.9.

. Т.к. функции непрерывны на , то можно использовать формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 2.10.

. Отметим, что поскольку функции и непрерывны на , формулой интегрирования по частям пользоваться можно.

2.8. Несобственные интегралы

Вводя понятие определенного интеграла, мы исходили из условий ограниченной подынтегральной функции и конечности пределов интегрирования. Такой интеграл называют собственным (в данном случае слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то интеграл называют несобственным. Т. е. несобственный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл II рода).

2.8.1. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы I рода)

Если функция непрерывна при , то по определению

. (21)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.

Аналогично:

. (22)

По определению, если функция непрерывна при , то

, (23)

где произвольно, причем интеграл в левой части равенства считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части.

Порядок вычисления несобственного интеграла:

1. вычислить определенный интеграл с переменным пределом;

2. найти предел от полученного выражения.

Если непрерывна на соответствующих промежутках, а - одна из первообразных, то формулы (21)-(23) можно записать так:

, (24)

, (25)

, (26)

где под понимается , а под - .

Формулы (24)-(26) аналогичны формуле Ньютона-Лейбница (18) для интегралов с конечными пределами. При вычислении несобственных интегралов можно пользоваться формулой интегрирования по частям. Можно применять и способ подстановки, но при условии, что функция или монотонна на промежутке интегрирования.