Исследование операций (обучающая система) / chapter7 / CMOmnogokOtk

Математическая модель Многоканальная СМО с отказами 

Рассмотрим n-канальную СМО с отказом. Пусть выполнены условия:

1)  система имеет n каналов обслуживания (n ≥ 2);

2)  поток заявок – стационарный с пуассоновской интенсивностью λ;

3)  время обслуживания распределено по показательному закону с параметром μ (интенсивность освобождений каждого канала СМО);

4)  заявка, заставшая все каналы занятыми, покидает систему (СМО с отказами). Требуется найти основные характеристики рассматриваемой СМО и оценить приемлемость тех или иных числовых значений исследуемых показателей.

  Составим уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

…………………………………

……………………………………………

   Эти уравнения называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями для их решения являются

p0(0) = 1, p1(0) = p2(0) = …= pn(0) = 0

проводя некоторые преобразования и обозначив

  ,

    где ρ – величина которая является приведенной интенсивностью потока заявок, получим окончательную формулу для нахождения вероятностей:

    Эти формулы называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметров λ, μ и n (λ – интенсивность потока заявок, μ – интенсивность обслуживания, n – число каналов СМО).

    Зная все вероятности состояний p0, p1,…,pk,…,pn , можно найти характеристики эффективности СМО.

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна

Относительная пропускная способность:

q = 1 – pn

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов – .

Абсолютная пропускная способность

A = λq = λ(1 – pn)

     Выразим через абсолютную пропускную способность А, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени μ заявок; среднее число занятых каналов получится делением А на μ:

или