Исследование операций (обучающая система) / chapter7 / CMOodnokOtk

Математическая модель Одноканальная CMO с отказами

Рассмотрим различные СМО (системы массового обслуживания) с отказами. В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает “отказ”, покидает СМО и в дальнейшем в процессе обслуживания не участвует. Пусть система массового обслуживания состоит только из одного канала (n = 1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, зависящий в общем случае от времени. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Тоб , распределенного по показательному закону с параметром μ:

f(t) =  μe – μt,          (t >0)  

           Требуется найти:

1.     А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, которое   может обслуживать система за единицу времени;

2.     q – относительную пропускную способность СМО, т.е. отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

              Обозначим вероятности состояний р0(t) и p1(t). Для любого момента t будет выполнятся соотношение:

p0(t) + p1(t) = 1,

 где p0(t) – вероятность того, что канал свободен,

          p1(t) – вероятность того, что канал занят.

    Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

       Поскольку из двух уравнений одно является лишним, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо p1 его выражение 1– p0:

       Это уравнение естественно решать при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=0 (в начальный момент канал свободен). Напишем решение дифференциального уравнения для случая λ=const

     Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность p0 есть не что иное, как относительная пропускная способность q.

     Действительно, p0 есть вероятность того. Что в момент t канал свободен, т.е. вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно p0: q= p0.

    В пределе, при t →∞, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

Зная q, легко найти абсолютную пропускную способность А. Они связаны очевидным соотношением:

A = λq

В пределе, при t →∞

Зная q, легко найти вероятность отказа:

Pотк = 1– q

Вероятность отказа Pотк есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.,

В пределе, при t →∞