Исследование операций (обучающая система) / chapter7 / CMOodnokOzhid
.htmМатематическая модель Одноканальная CMO с ожиданием
Второй тип системы массового обслуживания: системы с ожиданием. В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становятся в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Как только освободится канал, принимается к обслуживанию одна из заявок, стоящих в очереди.
Рассмотрим простейшую из всех возможных СМО с ожиданием – одноканальную систему (n=1), на которую поступает поток заявок с интенсивностью l: интенсивность обслуживания m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m обслуженных заявок в единицу времени). Напишем формулы для нахождения предельных вероятностей состояний:
Определим характеристики СМО. Заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все m мест в очереди – тоже:
Находим относительную пропускную способность:
Абсолютная пропускная способность:
A=lq Найдем среднее число заявок , находящихся в очереди; определим эту величину как математическое ожидание дискретной случайной величины R – числа заявок, находящихся в очереди:
Используя выводы, получим окончательно
Среднее число заявок , связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся под обслуживанием), равно сумме:
,
где - среднее число заявок в очереди,
- среднее число заявок под обслуживанием.
Таким образом, среднее число заявок, связанных с СМО, определяется по формуле:
Еще одна существенная характеристика СМО с ожиданием – среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его . Пусть заявка проходит в систему в какой-то момент времени.
С вероятностью р0 канал обслуживания не будет занят и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью р1 она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени 1/m и т.д.
Подставляя вероятности и преобразуя, получаем окончательно:
т.е. среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок. Случайная величина - время пребывания заявки в СМО.