§ 5. Подмножества

Рассмотрим множество А = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} положительных делителей числа 24 и множество В = {1; 2; 3; 4; 8} положительных делителей числа 8. Сравнивая эти множества, мы замечаем, что все элементы множества В являются так же элементами множества А, или множество А включает множество В, или В – подмножество множества А. Этот факт обозначается символом В  А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Частным случаем включения является равенство. Пусть А – множество всех равносторонних треугольников, а В – множество всех равноугольных треугольников. Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным, т.е. А  В. Верно, что и всякий равноугольный треугольник является равносторонним, т.е. В  А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два множества А и В называются равными, если А  В и В  А, т.е если множества А и В состоят из одних и тех же элементов.

Символически равенство множеств А и В обозначается так: А = В.

Вопросы и задания

44. Приведите примеры подмножеств.

45. Даны два множества: множество девочек и множество мальчиков данного класса. Какому множеству принадлежат оба эти множества?

46. Пусть истинно высказывание : «Любые значения х , которые принадлежат множеству М, принадлежат также и множеству Р». На основе этого условия отметьте в таблице истинные высказывания единицей (1), а ложные – нулем (0).

а)	Если х ϵ М,то х ϵ Р
б)	М  Р
в)	М  Р
г)	Если х Р,то х ∈ М
д)	Если х Р,то х М

47. Каким свойством должно обладать множество Р (см. задание 46), чтобы множества М и Р были равными ?

48. М – множество значений выражения 3 + 8k при любых неотрицательных значениях k ; E – множество значений этого выражения при k (0; 1); Т – множество любых неотрицательных чисел. Какие из следующих высказываний истинны:

а) М  Е ; Е  М ; Т  М ; Е  М ; 1 Е ; 3 Е ;

б) если х E, то х М;

в) если х М, то х Т;

г) если х Т, то х Е ?

49. Пусть М – множество значений выражения 3,5 + 9а при а { 0,5 ;1}. Запишите все подмножества М.

50. Выпишите все подмножества натуральных делителей числа 10.

51. Пусть А – множество прямоугольных треугольников, В – множество треугольников, у каждого из которых два острых угла. Какое из следующих высказываний истинно:

А  В; А  В; В  А ?

52. В чем ошибочность следующих утверждений:

а) если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то А является подмножеством множества В.

б) если два множества содержат одни и те же элементы, то они равны?

Приведите примеры, доказывающие ошибочность этих утверждений. Как исправить приведенные формулировки ?

53. Что можно сказать о множестве А, если известно, что А  ?

54. Даны множества:

А – множество целых чисел;

В – множество четных чисел;

С – множество нечетных чисел;

D – множество чисел, кратных 3;

Е – множество чисел, кратных 6;

Т – множество чисел, оканчивающихся цифрой 0;

К – множество чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 5;

F – множество чисел, кратных 2 и 3 одновременно;

М – множество чисел, кратных 2 и 5 одновременно.

Имеются ли среди данных множеств равные множества? Укажите, какие из множеств являются подмножествами других множеств. ответы на вопросы запишите с помощью символов.