2. Геометрическое решение игры 2´n

Рассмотрим конечную матричную игру с платежной матрицей D:

Игрок А обладает двумя стратегиями: и , а игрок В – n стратегиями: , , …, . Условимся, что игра не имеет Седловой точки, поэтому решение будем искать в смешанных стратегиях. Необходимо найти смешанные стратегии игроков:

и

и цену игры , считая, что , (см. таблицу).

Игроки				….
				….
				….
				….

Решение проводят с позиций игрока А, у которого две стратегии.

Решение игры включает следующие этапы:

1. В декартовой системе координат pOH по оси абсцисс (Ор) строим единичный отрезок. Левый конец отрезка (р=0) соответствует стратегии , правый (р=1) – стратегии . Промежуточные точки отрезка соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий .

2. На оси ординат (OH) откладываются выигрыши при стратегии – (j=1,…,n). На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши при стратегии – (j=1,…,n).

3. Каждую пару точек, соответствующих элементам и (j=1,…,n), стоящим в j-м столбце матрицы D, соединяем отрезком .

4. Находим нижнюю огибающую семейства отрезков (ломаная линия, выпуклая вверх). Она соответствует наихудшим ситуациям для игрока А или нижней границе цены игры.

5. На нижней огибающей находим наибольшую (наивысшую) точку. Она соответствует максиминной стратегии игрока А.

6. Абсцисса этой точки есть вероятность выбора игроком А второй стратегии в оптимальной смешанной стратегии – , тогда .

7. Ордината наибольшей точки нижней огибающей является ценой игры .

Пример

В ходе деловой игры возникла конфликтная ситуация двух юридических лиц. У одного из них имеется две стратегии, у другого – шесть. Платежная матрица имеет вид:

.

Определить оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение:

Данная ситуация представляет собой матричную игру порядка .

1. Исключим из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии:

Игроки
	10	8	6	4	2	3
	1	2	4	3	12	6

Стратегия является заведомо невыгодной⁶ для игрока В (по сравнению, например, со стратегией , которую доминирует) и ее можно отбросить⁷. Тогда матрица будет иметь следующий вид:

Игроки
	10	8	4	2	3
	1	2	3	12	6

2. Определим наличие (отсутствие) седловой точки в игре:

Игроки						Минимумы строк
	10	8	4	2	3	2
	1	2	3	12	6	1
Максимумы столбцов	10	8	4	12	6

Так как , то в игре нет седловой точки. Значит, ищем решение игры в смешанных стратегиях:

и .

При этом , т.к. стратегию исключили из рассмотрения.

3. Строим график в системе координат pOH в соответствии с описанной выше последовательностью этапов (рис.1).

Рис.1. Графическое решение примера

Интерпретация результатов решения

Ломаная ABCDE – нижняя огибающая, соответствующая нижней границе цены игры, т. е. наихудшим ситуациям для игрока А. Максимальное значение достигается в точке С, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям и игрока В. Абсцисса точки С соответствует вероятности применения игроком А чистой стратегии , – вероятность применения игроком А чистой стратегии . Ордината точки С – цена игры .

Для игрока В , т.к. точка С является пересечением пары чистых стратегий и . На графике и равны долям, на которые проекция точки С на ось ординат ОН делит отрезок .

Графическое решение задачи можно получить также с помощью инструмента Excel «Мастер диаграмм». Соответствующие иллюстрации представлены на рисунках 2 – 7.

Рис. 2. Определение минимумов строк

Рис. 3. Определение максимумов столбцов

Рис.4. Определение максимина и минимакса

Рис. 5. Выбор типа диаграммы

Рис.6. Построение диаграммы

Рис. 7. Графическое решение игры

4. Определим теперь значения вероятностей и цены игры .

Выделим в матрице D активные стратегии и игрока В. Получим матрицу в виде:

Игроки			Активные стратегии А
	4	3
	3	6
Активные стратегии В

Составляем системы:

игрок А:

игрок В: ,

из которых нетрудно определить

.

Выводы:

Юридическому лицу А следует пользоваться своей первой стратегией с вероятностью 75% (3/4 всех случаев), а второй – с вероятностью 25% (1/4 часть всех случаев). Юридическому лицу В не нужно использовать свои первую, вторую, третью и пятую стратегии. Четвертую стратегию использовать 75 раз (3/4 всех случаев), шестую – 25 раз (1/4) всех случаев.

Средний выигрыш игрока А составит 15/4 усл.ед. При этом игрок В проиграет не больше 15/4 усл.ед.