Раздел1. Основы линейного программирования

1.1. Экономико-математическая модель оптимизационной задачи и задачи линейного программирования

Оптимизационные задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в управлении.

Принцип оптимальности состоит в выборе среди множества допускаемых в данной ситуации решений наиболее выгодного с точки зрения критерия оптимальности.

Примеры критериев оптимальности:

1) максимум прибыли;

2)минимум затрат (материальных ресурсов, времени, стоимости и т.д.);

3)максимальное число комплектов продукции и т.д.

Экономико-математическая модель оптимизационной задачи:

(1)

(2)

(3)

Основные элементымодели:

1. Целевая функция (1) – отражает критерий оптимальности.

2. Система функциональных ограничений(2) – составляется из условий задачи.

3. Система прямых ограничений (3) – обеспечивает допустимость искомого решения.

Любая оптимизационная задача имеет два вида решений:

1. допустимые;

2. оптимальные.

Определение 1. Допустимым решением оптимизационной задачи называется такой набор значений переменных , при котором выполняются все условия систем (2) и (3).

Определение 2. Допустимое решение будет оптимальным, если на нем целевая функция (1) достигает своего максимума или минимума.

Большой класс оптимизационных задач – задачи математического программирования, в которых необходимо найти экстремум (максимум или минимум) функции при заданных ограничениях (условиях). Если все функции в модели задачи линейного вида, то имеем задачу линейного программирования(ЗЛП) общего вида:

(1)

(2)

(3)

Если все ограничения ЗЛП – неравенства, то запись модели задачи называется стандартной. Если все ограничения ЗЛП –уравнения, то запись модели называется канонической.Правило перехода от стандартной записи модели к канонической мы рассмотрим ниже. Существуют и другие формы записи ЗПЛ (векторная, матричная, с использованием знаков суммирования), с которыми можно познакомиться в учебных изданиях [3], [4].

Примерызадач линейного программирования

1. Задача об оптимальном использовании ресурсов (задача о коврах). В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: рабочая сила (80 чел.-дней), сырье (480 кг), оборудование (130 станко-часов).Фабрика может выпускать ковры четырех типов. Данные о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого типа, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого типа товаров, приведены в таблице:

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на один ковер				Наличие ресурсов
	«Лужайка»	«Силуэт»	«Детский»	«Дымка»
Труд	7	2	2	6	80
Сырье	5	8	4	3	480
Оборудование	2	4	1	8	130
Цена ковра, тыс. руб.	3	4	3	1

Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной.

ЭММ задачи:

, , , – искомое оптимальное количество ковров каждого из четырех типов соответственно;

F – общая максимальная стоимость продукции (критерий оптимальности);

Заметим, что левые части ограничений модели равны фактическим затратам ресурсов при производстве продукции.

2. Задача об инвесторе. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

ЭММ задачи:

, – оптимальноеколичество средств, которые необходимо вложить в акцииА и В соответственно;

F – максимальная прибыль инвестора в первый год (критерий оптимальности);

3. Задача о банке. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют Р млн руб. Часть этих средств, но не менее Q млн руб., должна быть размещена в кредитах, а вложения в ценные бумаги должны составлять не менее r% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах. Если – доходность кредитов, – доходность ценных бумаг (как правило, > ), то каково должно быть размещение средств, чтобы прибыль банка была максимальной?

ЭММ задачи:

, – средства, размещенные в кредитах и вложенные в ценные бумаги соответственно;

F – максимальная прибыль банка;

4. Задача о диете (рекомендуется рассмотреть самостоятельно[4]).

Выделяют два основных метода решения задач линейного программирования:

1. графический,

2. алгебраический (симплексный).