Решение

Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта представлены в таблице 3.

Таблица 3 − Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта

1	11 979	-	-	-	7	15 410	0	0	0
2	12 400	1	0	1	8	15 558	0	0	0
3	13 615	1	0	1	9	16 303	1	0	1
4	14 453	1	0	1	10	17 067	1	0	1
5	15 392	1	0	1	11	17 573	1	0	1
6	16 049	1	0	1	12	17 407	0	0	0

1. Если уровень больше всех предшествующих уровней, то в графе ставим 1, если меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе .

2. Определяем для .

3. .

4. Значение для берём из таблицы 1.

.

Значение берём из таблицы - распределения Стьюдента:

.

, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду имеет место быть.

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется по следующему алгоритму:

1. Из исходного ряда длиной образуется ранжированный (вариационный) ряд : , где − наименьшее значение ряда .

2. Определяется медиана этого вариационного ряда . В случае нечётного значения , в противном случае

.

3. Образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:

Если значение равно медиане, то это значение пропускается.

4. Подсчитывается − число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией. Определяется − протяжённость самой длинной серии.

5. Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа A − [A] − это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Например: П



роверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся (таблица 2) с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. Вспомогательные вычисления представлены в таблице 4.

Таблица 4 − Вспомогательные вычисления для критерия серии

1	11 979	11 979	-	7	15 410	15 558	-
2	12 400	12 400	-	8	15 558	16 049	+
3	13 615	13 615	-	9	16 303	16 303	+
4	14 453	14 453	-	10	17 067	17 067	+
5	15 392	15 392	-	11	17 573	17 573	+
6	16 049	15 410	+	12	17 407	17 407	+

1. От исходного ряда переходим к ранжированному , расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2. Так как (чётное), следовательно, медиана

3. Значение каждого уровня исходного ряда сравнивается со значением медианы. Если , то принимает значение «+», если меньше, то «−». Если значение равно медиане, то это значение пропускается

4. − число серий;

− протяжённость самой большой серии. Делаем проверку:

Оба неравенства выполняются, следовательно, с вероятностью 0,95 имеется тренд во временном ряду, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера − Стюарта.

Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и её математического выражения — тренда. Выдвигается основная гипотеза ( ) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчётное значение критерия определяется как отношение накопленной суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от их среднего значения ( ) и самих отклонений по формуле

,

где − накопленный итог отклонений эмпирических значений от среднего уровня исходного временного ряда;

− общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле: .

Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчёта значений критерия можно использовать нормированное отклонение:

.

Расчётные значения кумулятивного Т-критерия и сравниваются с табличным . Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. Следовательно, в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если , признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Например: Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае (таблица 5) кумулятивного T-критерия.