6. Вычислите силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой , нижнее , а высота .
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 19
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.
6. Пластинка,
имеющая форму эллипса, наполовину
погружена в жидкость (вертикально) так,
что одна из осей (длиной
)
лежит на поверхности. Как велика сила
давления жидкости на каждую из сторон
этой пластинки, если длина погруженной
полуоси эллипса равна
,
а плотность жидкости
?
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 20
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.
6. В дне цилиндрического сосуда, площадь основания которого S, а высота H, имеется отверстие. Вычислите площадь этого отверстия, если известно, что вода, наполняющая сосуд, вытекает из него в течение времени t.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 21
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
(одна арка циклоиды);
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.
6. За какое время жидкость вытечет из сосуда, имеющего форму правильной пирамиды, если площадь основания пирамиды s, высота h, площадь малого отверстия в дне сосуда s?
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 22
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.
6. Прямолинейный
проводник длины l
равномерно заряжен положительным
электричеством (
- линейная плотность). На продолжении
проводника на расстоянии a
от него находится единичный положительный
заряд. С какой силой взаимодействуют
проводник и заряд? Разделяющей средой
служит воздух.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 23
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
заключенной между точками (0;0),
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.