2.5. Маркування мереж Петрі

Маркування — це розміщення у позиціях мережі Петрі фішок, які зображені на графі мережі Петрі крапками. Фішки використовуються для визначення виконання мережі Петрі. Кількість фішок у позиції при виконанні мережі Петрі може змінюватися від 0 до безмежності.

Визначення 2.2. Маркування М мережі Петрі N=(P,T,I,О) є функцією, яка відображає множину позицій P у множину невід’ємних цілих чисел Nat (де число з Nat позначає кількість фішок, які розміщуються у відповідну позицію).

Маркування М, може бути також визначене як n-вектор М=<Мp₁,Мp₂…,М₍p_n)> где n=P – кількість позицій у мережі Петрі і для кожного 1in справедливоМ₍p_i)Nat. – кількість фішок у позиції p_i.

Визначення 2.3. Маркована мережа Петрі N=(P,Т,I,О,М) визначається сукупністю структури мережі Петрі (P,T,I,О) і маркування М.

Приклад 2.2. Графічне представления маркованої мережі Петрі.

Рис.2.2. Граф мережі Петрі, яка визначена у прикладі 2.2.

MPN =(P,T,I,O),

P={p₁, p₂, p₃, p₄, p₅}

T={t₁, t₂, t₃, t₄, t₅}

I(t₁)={ p₁}, O(t₁)={ p_2, p₃},

I(t₂)={ p₂}, O(t₂)={p₄},

I(t₃)={ p₃}, O(t₃)={p₅},

I(t₄)={ p₄}, O(t₄)={p₂},

I(t₅)={ p₄, p₅}, O(t₅)={p₁}.

M₁ = (1, 0, 0, 0, 0)

Множина всіх маркувань мереж Петрі безмежне. Якщо фішок, які розміщуються у позицію надто багато, то зручніше не рисувати фішки у крузі цієї позиції, а вказувати їхню кількість.

2.6. Правила виконання мереж Петрі

Мережа Петрі виконується засобами запусків переходів. Запуск переходу керується фішками у його вхідних позиціях і супроводжується видаленням фішок з цих позицій і додаванням нових фішок у його вихідні позиції.

Перехід може запускатися лише у тому випадку, коли він активізований. Перехід називається активізованим, якщо кожна з його вхідних позицій містить кількість фішок, яка не менша, ніж кількість дуг, які ведуть з цієї позиції у перехід (або кратності вхідної дуги).

Нехай функція А: PTNat для довільних позицій pP і переходу tТ задає значення А(p,t), яке співпадає с кратністю дуги, яка веде з p у t, якщо така дуга існує, і з нулем, у протилежному випадку.

Нехай функція А: T P Nat для довільних позицій pP і переходу tТ задає значення А(t,p), яке співпадає с кратністю дуги, яка веде з t у p, якщо така дуга існує, і з нулем, у протилежному випадку.

Визначення 2.4. Перехід tT у маркованій мережі Петрі MPN=(P,T,1,О,M) активізований, якщо для всіх pI(t) справедливо МpА (p,t).

Запуск активізованого переходу tT із своєї вхідної позиції pI(t) видаляє А(p,t) фішок, а у свою вихідну позицію p’O(t) додає А(t,p’) фішок.

Рис.2.3. Перемикання переходу

Зроблені вище визначення не дають уявлення про порядок перемикання декількох акивізованих переходів. Одночасне непермикання їх неможливе. Як показано на рис. , у цьому випадку можуть відбуватися два процеси і який з них фактично має місце, у мережі Петрі визначити не можна. У зв’язку з тим, що ввімкнення одного або другого переходу не може бути здійснене за допомогою зовняшніх параметрів, мережа Петрі має в цьому випадку невизначеність.

Рис.2.4. Недетермінованість перемикань мережі Петрі

Приклад 2.3. Запуск активізованого переходу у мережі Петрі.

Мережа Петрі до запуску переходу t₁.

Мережа Петрі після запуску переходу t₁.

Визначення 2.5. Перехід t у маркованій мережі Петрі з маркуванням М може бути запущений кожного разу, коли він активізований і у результаті цього запуску утворюється нове маркування М’, яка визначається наступним співвідношенням:

М’(p)= М(p) – А(p,t) + А(t,p).

для всіх pP.

Запуски можуть здійснюватися доти, поки існує хоча б один активізований перехід. Коли не залишиться жодного активізованого переходу, виконання припиняється.

Якщо запуск довільного переходу t перетворює маркування мережі Петрі в нове маркування М’, то будемо говорити, що М’ досяжна из М шляхом запуску перехода t і позначати цей факт, як М ^t М ‘. Це поняття очевидним чином узагальнюється для випадку послідовності запусків активізованих переходів. Через R(MPN,М) позначимо множину всіх досяжних маркувань із початкового маркування М у мережі Петрі MPN.

Приклад 2.4. Преретворення маркування мережі Петрі у прикладі 2.2.

Перехід t₁ перетворює маркування М=<6,2> у маркування М’=<3,4>.

Приклад 2.5. Припустимо, що в нас є мережа Петрі, зображена на рис. 2.4.

Рис.2.5. Графічне зображення мережі Петрі

Початкова розмітка її M₀ = (1, 2, 0). При такій розмітці за правилами функціонування мережі може спрацювати або перехід t₁ (до переходу входить одна дуга з місця p₁, яка вже має одну фішку), або перехід t₂ (до переходу входять дві дуги з місць p₁ і p₂, які мають відповідно 1 і 2 фішки). Система недетерміновано вибирає спрацювання одного з переходів. Розглянемо можливі варіанти.

Якщо спрацьовує перехід t₁, тоді наступна розмітка буде М₁ = (1, 3, 0).

Рис.2.6. Графічне зображення мережі Петрі

Вона отримується так. З усіх місць, які мають дуги, що входять до переходу t₁, забираються фішки, кількість яких визначається кількістю дуг, що виходять з місця і входять в перехід t₁. Після цього розмітка p₁ стане дорівнювати 0. Але після спрацьовування переходу t₁ в усі місця, в які ведуть дуги з t₁, додається кількість фішок з дуги; із t₁ — кількість фішок, яка дорівнює кількості відповідних дуг. Тому після спрацьовування t₁: p₁ = 0 + 1 = 1, а p₂ = 2 + 1 = 3. Місце p₃ залишається без змін_: бо в нього не входять дуги з переходу, який спрацював.

Після спрацьовування переходу t₁ можливе подальше спрацьовування знов t₁ або t₂. Якщо недетерміновано вибереться t₂, тоді М₂ = (0, 2, 1). Далі може спрацювати або перехід t₃, або ж перехід t₄.

Рис.2.7. Графічне зображення мережі Петрі

Процес роботи мережі Петрі може закінчитись або при досягненні ситуації, в якій не може спрацювати жодний перехід, або при досягненні якоїсь певної, попередньо визначеної розмітки.

Розглянемо перший випадок. Якщо спрацює перехід t₃, тоді розмітка матиме вигляд M₃ = (0 + 0, 2 + 2, 1 - 1) = (0, 4, 0), і жодний з переходів не може спрацювати. Для характеристики другого випадку закінчення роботи мережі Петрі візьмемо за фінальну розмітку M_ф = (1, 2, 0).

Рис.2.8. Графічне зображення мережі Петрі

Якщо при розмітці М₂ = (0, 2, 1) спрацює перехід t₄, тоді ми отримаємо M_ф ⁼ (1, 2, 0). У даному разі M_ф = M₃ і мережа закінчить роботу.

Рис.2.9. Графічне зображення мережі Петрі