Замена переменной и интегрирование по частям. Для определенного интеграла, как и неопределенного, имеют место формулы замены переменной и интегрирования по частям.

Теорема 22. Пусть выполняются следующие условия:

1. функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b];

2. функция имеет непрерывную производную на [α,β];

3) [a,b] = .

Тогда справедлива формула замены переменных в определенном интеграле

.

□ Пусть Ф(х) некоторая первообразная f(x), тогда . Так как Ф(х) и дифференцируемы, то правилу дифференцирования сложных функций имеем

.

Отсюда следует, что функция является на отрезке [α,β] первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Поскольку то, приравнивая, получим

. ■

Пример. Вычислить .

Решение. Рассмотрим подстановку , . Проверим законность такой подстановки. Во-первых, функция непрерывна на отрезке . Во-вторых, функция дифференцируема на отрезке и её производная непрерывна на отрезке . В-третьих, при изменении t от 0 до функция изменяется от 0 до 1, причем и . Таким образом, данная подстановка удовлетворяет всем условиям теоремы 22. Применяя формулу замены переменных, получаем

.

Замечание. При использовании формулы замены переменных необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример. Рассмотрим интеграл . Однако, если этот же интеграл записать по-другому и сделать формально замену, то получим

.

Как видно, пришли к абсурду. Это произошло потому, что функция разрывная при и не удовлетворяет условиям теоремы 22.

Теорема 23. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

или

.

□ Функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x), поэтому

.

Отсюда по свойству определенных интегралов имеем

. ■

Примеры. Вычислить интегралы:

1) .

Решение. Положим ; отсюда и по формуле интегрирования по частям находим

2) .

6.7. Геометрические приложения определённого интеграла

Вычисление площади плоской области.

Теорема 24 (вычисление площади области в декартовой системе координат). Если f(x) определена, непрерывна и неотрицательна на отрезке [a,b], то площадь множества выражается формулой:

. (16)

Множество Р называется криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f(x) на [a,b].

□ Пусть некоторое разбиение [a,b]. Обозначим

∆x_i =x_i - x_i-1; ∆_i =[x_i-1, x_i]; h(T)= ; (i=1,2…n).

Также обозначим через p(T) и P(T) – множества, составленные из прямоугольников

; ; (17)

; . (18)

Рис.2

Поскольку , для любого разбиения T имеют место неравенства

. (19)

Из (17) и (18) получим, что .

Отсюда, т.к. прямоугольники и не имеют общих внутренних точек, следует что

;

.

Следовательно, площади многоугольников p(T) и P(T) равны соответственно нижней и верхним суммам Дарбу функции f(x) на [a,b]. Поэтому из (19) следует, что . Но, т.к. f(x) непрерывна на [a,b], то она интегрируема на этом отрезке, следовательно

.

По критерию интегрируемости верхний и нижний интеграл Дарбу совпадают и равны интегралу от f(x) по [a,b] (см. замечание к критерию интегрируемости). Переходя к пределу при h(T)→0 в неравенствах (19), получим

.

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывная и неположительная на отрезке [a,b] и P={(x,y): a≤x≤b, f(x)≤y≤0}, то

. (20)

□ Положим . Тогда множество P* симметрично множеству P относительно оси Ox. Тогда в силу (16):

Рис.3

.

Но μ(P*)=μ(P), тогда справедлива формула (20). ■ Следствие 2. Формулы (16) и (20) можно объединить в одну формулу. Если f(x) непрерывна и знакопеременна на [a,b] , то площадь множества, заключенного между графиком функции и осью OX равна:

.

Примеры. 1) Вычислить площадь, образованную одной аркой синусоиды.

Решение. Область имеет вид (рис.4)

Рис.4

.

2) Вычислить площадь множества, ограниченного эллипсом.

Рис.5

Решение. Из канонического уравнения эллипса имеем:

Тогда площадь будет равна:

Следствие 3. Если функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b], причем f(x)≥g(x) x [a,b], то площадь области P, заключенной между графиками функций f(x), g(x) и прямыми x=a, x=b , равна:

. (21)

Рис.6

□ Пусть сначала f(x)≥g(x); f(x)≥0 и g(x)≥0. По теореме, площадь множества Р равна разности площадей криволинейных трапеций, порожденных графиками f(x) и g(x)

.

Отсюда, учитывая линейное свойство интегралов, получается формула (21). Теперь пусть f(x) и g(x) имеют произвольные знаки на [a,b], но f(x)≤g(x) x [a,b]. Пусть число . Сделаем замену: y’=y+A.

Рис. 7

В системе координат (x, y’) площадь фигуры ограниченную функциями f(x)+A и g(x)+A назовем P’. Ясно, что P’=P. Вычислим μ( Р’) в (x,y’), учитывая, что f(x)+A≥0 и g(x)+A≥0, по формуле (21) имеем:

.

Но, т.к. μ(P)= , то . ■

Пример. Найти площадь области, ограниченной кривыми y=x и y=x²-2.

Решение. Найдем точки пересечения кривых.

Рис.8

Приравнивая ординаты, получим: x²-2=x Тогда площадь будет равна

.

Теорема 25 (вычисление площади множества в полярной системе координат). Если функция определена и непрерывна на отрезке [α,β], то площадь множества P={( φ,): α≤φ≤β, }, граница которой в полярной системе координат задана графиком r(φ) и лучами φ=α и φ=β (которые могут превращаться в точки) определяется по формуле:

(22)

□ Возьмем разбиение отрезка [α,β], где φ₀=α, φ_n=β, и положим

∆φ_i= φ_i - φ_i-1, ∆_i=[ φ_i-1, φ_i], , , и h(T)= .

Выберем произвольные точки . Тогда p_i(T)={(φ, ): φ_i-1≤φ≤φ_i, 0≤ ≤m_i} и P_i(T)={(φ,r): φ_i-1≤φ≤φ_i, 0≤ ≤M_i} круговые секторы с углом ∆φ_i­, i=1,2….n и радиусами m_i и M_i.

Рис.9

Обозначим ступенчатые фигуры, составленные из секторов p_i(T) и P_i(T), соответственно вписанные в P и описанные около множества Т. Тогда

p(T) P P(T) => μ(p(T))≤μ(P)≤μ(P(T)).

По формуле для площади сектора имеем:

Поэтому

Здесь s(T) и S(T) – суммы Дарбу для функции . Тогда выполняется неравенство

, (23)

где - интегральная сумма для функции на отрезке . Так как функция непрерывна на , то тоже непрерывна и интегрируема на отрезке [a,b], а следовательно, выполняется критерий

.

Переходя в (23) к пределу при , по теореме сравнения получим, что справедлива формула (22). ■

Пример. Найти площадь множества Р, ограниченного кривой , которая называется кардиоидой .

.

Теорема 26 (вычисление площади множества, ограниченного кривой, заданной параметрически). Площадь множества, ограниченного простой гладкой замкнутой кривой , заданной параметрическими уравнениями

причем , определяется по формуле

(24)

Рис.10.

□ Для доказательства воспользуемся формулой (22). Рассмотрим полярную систему координат. Пусть А и С крайние точки , соответствующие полярным координатам и , причем точке А соответствует значение параметра начало кривой Г, а значение - соответствуют точке В – конец замкнутой кривой Г. Пусть соответствуют точке С. Из параметрических уравнений кривой Г и уравнений полярных координат в декартовой системе координат имеем

Площадь в полярной системе координат равна разности площадей двух криволинейных секторов и . По формуле (22), предполагая, что , получим

В силу. ■

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом пользуясь формулой (24).

Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде:

.

_{Тогда по формуле (24) имеем:}

Вычисление длины кривой. Пусть Г – кривая на плоскости или в пространстве, заданная непрерывно дифференцируемой векторной функцией , т.е.

По определению, длиной кривой называется верхняя грань длин всевозможных ломанных вписанных в эту кривую, т.е. и, если , то кривая называется спрямляемой, и имеет конечную длину. Переменная длина дуги кривой , отсчитываемая от начала кривой Г, является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и ее производная равна

.

Тогда длина кривой Г будет равна

.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

а) Если Г пространственная кривая, то

.

б) Если Г – плоская кривая, заданная параметрически уравнениями

,

то (25)

в) Если Г кривая является графиком функции y=f(x) на , то параметризуя ее уравнение , из (25) будем иметь:

(26)

г) Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением , причем функции непрерывны на . Уравнение кривой можно параметризовать, используя связь декартовой системы координат и полярной, приняв за параметр угол :

Подставим в (25) и, после преобразований, получим

(27)

Примеры. 1) Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы , если .

Решение. Из уравнения находим: Следовательно, по формуле (26) получим

2) Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .

Решение. Из уравнений циклоиды находим:

Когда переменная изменяется на отрезке то параметр принимает значения на отрезке . Следовательно, искомая длина дуги будет равна:

3) Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: .

Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому по формуле (26) искомая длина дуги равна

Вычисление объема и поверхности тела вращения.

Теорема 27 Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , имеет объем

. (28)

□ Рассмотрим разбиение отрезка на частей точками . На каждом частичном отрезке возьмем точки и построим прямоугольник MNPQ (рис. 10). При вращении вокруг оси каждый прямоугольник опишет цилиндр.

Найдем объем цилиндра, образованного вращением прямоугольника :

, где .

Сумма объемов всех цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:

.

С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для интеграла (28). Так как функция непрерывна на , то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (28). Таким образом,

. ■

Примеры. 1) Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Оу.

Решение. .

2) Вычислить объем тора. Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии от центра круга . Форму тора имеет, например, баранка.

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси (рис. 11). Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций и вокруг оси .

Уравнение окружности имеет вид: ,

причем уравнение кривой

,

а уравнение кривой

,

Используя формулу (27), получаем для объема тора выражение

.

Теорема 28 Пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси , имеет площадь, которая может быть вычислена по формуле

. (29)

□ Разобьем произвольный отрезок на частей точками _. Пусть , , ,…, , ,…, – соответствующие точки графика функции . Построим ломанную , , ,…, (рис. 12). При вращении этой ломанной вокруг оси получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением звена ломаной, равна – длина хорды , , т.е.

.

По формуле Лагранжа имеем:

.

Полагая , получаем

.

Итак, площадь поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломанной

.

Представим эту сумму в виде двух сумм

Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (29), и при в силу непрерывности функции имеет своим пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства имеет при предел, равный нулю. Действительно, так как функция равномерно-непрерывна на , то по теореме Кантора для любого существует такое, что при выполняются неравенства и . Если обозначить через максимальное значение функции на отрезке , то выражение в фигурных скобках при оценивается следующим образом:

.

Так как произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при .

Таким образом, переходя в равенстве к пределу при , имеем , т.е. получена искомая формула (29). ■

Замечание. Если поверхность получена вращением вокруг оси кривой , заданной параметрическими уравнениями , , , причем , а функция изменяется от до при изменении параметра от до , причем , , то, производя в формуле (29) замену переменной , получаем

. (30)

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: , , где имеет непрерывную производную на , то этот случай сводится к параметрическому заданию кривой , , , и формула (30) принимает вид

.

Примеры. 1) Вычислить площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности , , вокруг оси .

Решение. По формуле (29) получаем

,

где – высота пояса.

2) Вычислить площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды , , , вокруг оси

Решение. По формуле (30) имеем