4. Практическая часть работы

4.1. Задание

1. Определить число атомов n, приходящихся на одну элементарную ячейку в решётках К8, К12, Г12.

2. Рассчитать плотность упаковки g атомов в решётках К8, К12 и Г12, если принять атомы в виде шаров, радиусом R, образующих плотные упаковки.

3. Определить индексы [m n p] направлений, указанных на рисунке 5.

Рисунок 5. Схема различных направлений в кубической кристаллической решётке, индексы [m n p] которых необходимо определить

4. Определить индексы (h k l) плоскостей, показанных на рисунке 6.

Рисунок 6. Плоскости, индексы (h k l) которых необходимо определить

2. Пример выполнения задания

Вопрос I. Определить число атомов n, приходящихся на одну элементарную ячейку в решётках к8.

Ответ I. Начертим элементарную ячейку кубической объёмно-центрированной решётки – рисунок 7. Атомы металла занимают в ней позиции в вершинах и в центре куба. Атом в центре куба полностью принадлежит рассматриваемой элементарной ячейки. Атом в вершине куба, например атом 1, принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам, имеющим общую вершину. Следовательно, рассматриваемой элементарной ячейке принадлежит только 1/8 часть атома 1. Но вершинных атомов 8, поэтому их общий вклад в ячейку составляет 1/8×8=1. Тогда в элементарной ячейке решётки К8 находится два атома: n=1+1/8×8=2.

Рисунок 7. Схема элементарной ячейки решётки К8 для определения координационного числа К

Вопрос II. Рассчитать плотность упаковки g атомов в решётках к8, если принять атомы в виде шаров, радиусом r.

Ответ II. Атомы (шары) в элементарной ячейке решётки К8 (рис.7) располагаются таким образом, что происходит их касание вдоль телесной диагонали куба. Если ребро куба равно а (период элементарной ячейки), то диагональ куба равна а√3. С другой стороны, из условий касания атомов следует, что телесная диагональ куба равна 4R. Приравнивая а√3=4R, находим связь между периодом ячейки и радиусом составляющих её атомов .

Для определения плотности упаковки атомов воспользуемся выражением для g

Для решётки К8 n=2. Объём атома равен Vam=4/3ПR³. Объём элементарной ячейки определяется через R с помощью выведенного выше соотношения

Тогда

Подставляя в выражение для g найденное значение n, V_am, V_яч, определяем плотность упаковки атомов в решётки К8:

Проверяем правильность расчета по таблице 1.

Вопрос III. Определить индексы направлений 2, 4, 7 кубической решётки, указанных на рисунке 5.

Ответ III. Нарисуем указанные направления в кубической решётке (рис. 8). Рассмотрим направление 2. Находим координаты атома, ближайшего к началу координат в этом направлении. Ближайший атом к началу координат в направлении 2 находится в вершине куба. Координаты этого атома – [111]. Тогда, по определению, индексами направления 2 будут [111]. Таким образом, находим, что координаты атома, ближайшего к началу координат в направлении 4, будут [100], а в направлении 7 – [201]. Тогда кристаллографическими символами направления 4 будут [100], а направления 7 – [201]. Следовательно, направления 2, 4, 7 в кристаллографических символах определяются как [111], [100] и [201].

Рисунок 8. Схема решётки с направлениями 2, 4, 7 индексы [m n p] которых необходимо определить

Вопрос IV. Определить индексы (h k l) плоскости, указанной на рисунке 6а.

Ответ IV. На рисунке 9 обозначим штриховкой плоскость, индексы (h k l) которой требуется определить. Находим отрезки, отсекаемые плоскостью по осям координат. Поскольку оси Y и Z лежат в искомой плоскости, то эта задача становится неопределённой. Чтобы найти индексы плоскости нужно перенести начало координат вдоль оси Х на расстояние а в соседний атом. Новую систему координат обозначим XY’Z’. В новой системе координат искомая плоскость отсекает по оси Х отрезок А=-1, по оси Y’ – отрезок В=∞, по оси Z’ – отрезок С=∞. Зная отрезки А, В, С, определяем индексы искомой плоскости: по оси Х → h=1/A=1/-1=ī; по оси Y’ → k=1/B=1/∞=0; по оси Z’ → l=1/C=1/∞=0. Итак, индексами искомой плоскости будут (ī00).

Рисунок 9. Схема для определения индексов (h k l) координатной плоскости YOZ

Отчёт по практической работе должен содержать аккуратно выполненные расчеты параметров кристаллической решетки по пунктам задания 1, 2, 3, 4, определенным студентам преподавателю, и необходимые объяснения по расчетам.