Тема 5. Устойчивость линейных систем

Программа

Понятие устойчивости и ее определение. Признак устойчивости. Необходимое условие устойчивости. Изображение свободных движений линейных стационарных систем второго порядка на фазовой плоскости. Критерий Рауса-Гурвица. Устойчивость и установившаяся погрешность. Предельный коэффициент усиления. Область устойчивости Частотные методы исследования устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста. Применение критерия Найквиста. Понятие о стабилизации системы.

Методические указания

Изучение данной темы необходимо начать с определения устойчивости и твердо уяснить, что устойчивость линейных систем автоматического управления определяется расположением корней характеристического уравнения, последнее получают приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции той системы, устойчивость которой исследуется. Признак устойчивости дает необходимое и достаточное условия устойчивости и является базой, на которой стоят все критерии устойчивости; заключается он в отрицательности действительной части корней характеристического уравнения. В практическом применении использование признака устойчивости весьма ограничено, в связи с этим разработан ряд критериев и прежде всего необходимое условие - положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Далее следует отметить, что при исследовании устойчивости широко используется изображение свободных движений систем в фазовом пространстве, поэтому студенту необходимо познакомиться с понятиями фазового пространства, фазовой траектории, фазового портрета, а также изображением на фазовой плоскости свободных движений линейных стационарных систем второго порядка и только после этого можно приступить к изучению критериев устойчивости.

Все критерии устойчивости подразделяются на две группы: алгебраические и частотные. К первой группе относится критерий Рауса-Гурвица, который дает ответ об устойчивости системы, исходя из коэффициентов характеристического уравнения, из которых составляют так называемые миноры. Для устойчивых систем последние должны быть положительны. Эти сведения используются для расчета систем с обратной связью, состоящего из расчета установившегося режима и расчета переходного процесса, требуя при этом, чтобы переходной процесс затухал с течением времени, и система была устойчивой. В связи с этим в рассмотрение вводятся понятия установившаяся погрешность - разность между задающей и регулируемой величинами в установившемся режиме, коэффициент усиления системы и соответственно предельный коэффициент усиления, а также область устойчивости, наглядно показывающей зависимость устойчивости от параметров системы.

Ко второй группе критериев относятся критерии Михайлова и Найквиста. Наибольшее практическое применение получил критерий Найквиста, позволяющий по АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. Это единственный критерий, используемый в тех случаях, когда характеристики отдельных элементов я систем заданы -экспериментально, а также для систем с запаздыванием, Частотные критерии являются графоаналитическими.

В заключение следует рассмотреть вопрос о стабилизации систем, т.е. о путях разрешения конфликта между точностью и устойчивостью. Одним из путей является изменение структуры системы, наложение дополнительных связей.

Вопросы для самопроверки

1. Как расположены корни характеристического уравнения устойчивой, неустойчивой систем и. системы, находящейся на границе устойчивости?

2. В чем заключается необходимое условие устойчивости?

3. Что такое фазовое пространство?

4. Какие виды фазовых портретов имеют линейные стационарные системы второго порядка?

5. Сформулируйте критерий Рауса-Гурвица и исследуйте на устойчивость заданную систему.

6. Как рассчитывается установившаяся погрешность?

7. Сформулируйте критерий Рауса-Гурвица через предельный коэффициент усиления.

8. С какой целью определяется область устойчивости?

9. Сформулируйте критерий Михайлова и исследуйте на устойчивость

заданную систему.

10.Сформулируйте критерий Найквиста и исследуйте на устойчивость

заданную систему.

11.Назовите основные области применения критерия Найквиста.

12.Приведите пример проведения стабилизации системы.

Литература: [ I] , [ 2 ] ,[3].