Вопрос 8. Преобразование Лапласа

В теории автоматического управления широко используется специальный метод прикладного анализа, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

Преобразование по Лапласу функции называется функцией комплексного переменного, которое определяется по формуле:

Здесь: - это исходная функция называемая оригиналом.

p – это оператор Лапласа , где - действительные переменные, -мнимые

Функция называется изображением по Лапласу функции

- символ преобразования Лапласа

Обратный переход по Лапласу осуществим по формуле:

Для большинства функции существует таблица соответствует между изображением и оригиналом.

Широкое применение преобразования Лапласа объясняется рядом преимуществ над прямым решением в области действительного переменного.

Например: изображение многих функции гораздо проще оригинала.

Оригинал является разрывной функции времени

Изображение разрывной функции является непрерывной функцией от

Вопрос 9. Основные свойства теоремы преобразования Лапласа

1. Преобразования Лапласа имеется линейная операция, поэтому изображение оригинала умноженного на постоянную величину равную изображению умноженную на эту величину.

2. Дифференцирование оригинала в соответствии умножим изображения на p

Так как при 1^ое слагаемое равно 0 (при нулевых начальных условиях), 2^ое слагаемое это есть изображение исходной.

3. Изображение интеграла исходной функции соответствует деление изображение на p.

4. Теорема с опаздыванием

Доказательство:

5. Теорема свертывания.

Сверткой 2^х функции называется интеграл следующего типа.

Изображение 2^х функции свертки равно произведению изображения.

6. Теорема о конечном значении функции

7. О начальном значении функции

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразование Лапласа.

Использование преобразование Лапласа упрощает решение дифференциальных уравнений, благодаря тому что в области комплексного переменного они превращаются алгебраические, а оригиналы легко находятся по таблице. Решение дифференциальных уравнений складывается из 3^х этапов.

1. Преобразование дифференциальных уравнения по Лапласу.

2. Отыскание решение уравнения в области комплексного переменного.

3. Переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа.

Пример.

Из этого уравнение получим выражение для y:

Для упрощения нахождения оригинала, разложим эту функцию на составные части.

В этом выражении - корни уравнения ставшего знаменателя уравнения (*).

- определяются методом неопределенных коэффициентов.

После решения по таблице обратного преобразования Лапласа, находим оригинал:

Предположим