8.3. Статистический критерий и критические области
Для проверки основной гипотезы Н0 используют специальным образом подобранную случайную величину, распределение которой должно быть известно. В зависимости от закона распределения эта случайная величина имеет свое обозначение, основными из которых являются
U – случайная величина распределена по нормальному закону;
Т – случайная величина распределена по закону Стьюдента;
χ2 – случайная величина распределена по закону «хи-квадрат».
В общем случае, будем обозначать ее К.
Статистическим критерием К (или просто критерием) называют случайную величину, которая служит для проверки основной гипотезы и распределение которой известно.
С помощью критерия находят два самых важных понятия, после анализа которых делают вывод о верности или неверности основной гипотезы. Одним из таких понятий является наблюдаемое или выборочное значение критерия, вторым – критическая область.
Выборочным ( или наблюдаемым) значением критерия Кв называют значение критерия, найденное по определенным формулам по выборочным данным.
Критическая область и критические точки.
Критерий К – это одномерная случайная величина, поэтому множество значений критерия V расположено на прямой. Так как каждый критерий связан с основной гипотезой, то в множестве его значений есть те, для которых гипотеза Н0 верна, и те, для которых гипотеза Н0 неверна. Разобьем множество V на два непересекающихся подмножества: V0 и V1.
Областью принятия гипотезы Н0 называется множество значений V0 критерия К, при которых гипотеза Н0 не отвергается.
Критической областью гипотезы Н0 называется множество значений V1 критерия К, при которых гипотеза Н0 отвергается.
Точки kкр., разделяющие область принятия гипотезы и критическую область, называются критическими точками.
Критическая область может быть двусторонней, правосторонней и левосторонней.
а) Правосторонняя критическая область определяется неравенством К>kкр. и имеет вид:
kкр.
V1
V0
б) Левосторонняя критическая область определяется неравенством К<kкр. и имеет вид:
kкр.
V1
V0
в) Двусторонняя критическая область определяется неравенствами К<k1кр. и К>k2кр. и имеет вид:
kкр.1
V1
V0
kкр.2
V1
Если в случае двусторонней критической области выполнено равенство k2кр. = - k1кр., т.е. критические точки располагаются симметрично относительно нуля, то сама критическая область называется симметричной.
Основной принцип проверки статистической гипотезы состоит в следующем: если выборочное значение критерия принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то основная гипотеза не отвергается.
Очевидно, что для нахождения критических областей достаточно определить вид критической области и найти критические точки. Вид критической области, в большинстве случаев, зависит от альтернативной гипотезы, критические точки – от выбранного критерия. Значения критических точек находят по таблице распределения случайной величины, которая выбрана в качестве критерия. Не приводя теоретического обоснования нахождения критических точек и критических областей, отметим лишь то, что критическая область строится так, чтобы вероятность попадания в нее значения критерия была равна уровню значимости, при условии, что основная гипотеза справедлива.
Из всего вышеприведенного вытекает следующая общая схема проверки статистической гипотезы.