§2. Невизначені рівняння вищих порядків

2.1 Рівняння . Піфагорові трійки

Розв'язок невизначеного рівняння в цілих числах.

Можна взяти 𝑥, 𝑦, 𝑧 такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б одразу скоротити обидві частини рівняння на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що 𝑥, 𝑦, 𝑧 є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад 𝑥, 𝑦 ділились на , то і 𝑧 ділилось би на 𝑑. Таким чином, одне з чисел 𝑥, 𝑦 повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному випадку, якщо б , то ділилось на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо . Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).

Нехай 𝑥 – парне, 𝑦 – непарне, тоді 𝑧 – непарне. Візьмемо

отримаємо .

𝑡 і 𝑢 – взаємно прості. Дійсно, якщо 𝑡 і 𝑢 мали спільний множник , то 𝑑 містився б в , а це неможливо, бо 𝑦 та 𝑧 є взаємно простими.

Тому 𝑡 та 𝑢 повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо

Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо

Але так як 𝑡 та 𝑢 взаємно прості, то для кожного 𝑖 одне із чисел дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел 𝑡 та 𝑢 парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:

Звідси

(5)

Таким чином кожен розв'язок рівняння у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді (5), де - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше 𝑦 і були б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа

різної парності, числа 𝑥, 𝑦, 𝑧 – складені з них по формулам (5) і дають розв’язки рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все

Крім того , якщо б 𝑦 та ділились на просте число 𝑑, то також ділись би на 𝑑, і так, як 𝑑 не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел , 𝑦 і 𝑧 непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов’язково ділиться на цей простий дільник, випливає ,що повинні ділитися на 𝑑, а це суперечить тому, що числа є взаємно простими. Отже, 𝑦 та 𝑧, а також і вся трійка 𝑥, 𝑦,𝑧 – взаємно прості.

Таким чином формули (5) при взаємно простих різної парності, дають всі розв’язки рівняння у взаємно простих цілих числах.

Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.

Доведемо наступну теорему:

Теорема 5.

Рівняння не має розв’язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння не має відмінних від нуля цілих розв’язків.

Доведення.

Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв’язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв’язків повинна існувати така, для якої 𝑧 приймає найменше можливе значення. Покажемо, що 𝑥 та 𝑦 при цьому взаємно прості. Дійсно, якби 𝑥 і 𝑦 мали спільний дільник 𝑑, то 𝑧 ділилось би на 𝑑 і цілі числа давали б систему розв’язків з меншим 𝑧.

Як і в попередньому дослідженні рівняння , впевнюємось в тому, що із пари чисел 𝑥, 𝑦 одне повинне бути парним, а друге непарним.

Нехай 𝑥 – парне. На основі виведених вище формул (5) маємо

Причому 𝑢 і 𝑣 – взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо 𝑢 було парним, 𝑣 – непарним, то мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4𝑚+1. Тому , і так як і 𝑢 та 𝑞 взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що

де 𝑠 і 𝑟 взаємно прості, причому 𝑟 непарне.

Рівність , перепишемо тепер у вигляді

,

де та 𝑦 взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що

а це в поєднанні з іншою рівністю дає .

Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим 𝑧, що суперечить припущенню про мінімальність 𝑧.

Піфагорові трійки.

Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із загальновідомою теоремою Піфагора – прямокутний, оскільки .

Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, які задовольняють відношення:

.

Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому 𝑎 і 𝑏 називають катетерами, 𝑐 – гіпотенузою.

Зрозуміло, що якщо 𝑎, 𝑏, 𝑐 є трійкою піфагорових чисел, то і 𝑝𝑎, 𝑝𝑏, 𝑝𝑐, де 𝑝 – цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.

Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник 𝑝).

Покажемо, що в кожній із таких трійок 𝑎, 𝑏, 𝑐 один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.

Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета 𝑎 та 𝑏 парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза 𝑐. Це, суперечить тому, що числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2𝑥+1 та 2𝑦+1, то сума їх квадратів рівна

тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.

Отже із катетів 𝑎, 𝑏 один парний, а інший непарний. Тому число непарне, а значить непарна і гіпотенуза 𝑐.

Припустимо, для визначеності, що непарним є катет 𝑎, а парним 𝑏. Із рівності

.

ми легко отримаємо:

.

Множники , правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума

І різниця

І добуток

Тобто числа 2𝑐, 2𝑏, і 𝑎 мали б спільний множник. Так як 𝑎 непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, чого бути не може.

Отримана суперечність показує, що числа взаємно прості.

Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд

Де 𝑚 та 𝑛 – деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких 𝑚, 𝑛 ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях 𝑚 та 𝑛:

Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.