8.4 Обработка результатов косвенных измерений

Косвенные измерения – измерения, в которых искомое значение величины определяется на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений.

Требуется оценить значение величины Y , связанной с измеренными величинами значениями x₁,…, x₂,…,x_k,Y=f(x₁,…, x₂,…,x_k)

Задача сводится к нахождению оценки неизвестной величины Y, если при обработке результатов прямых измерений получены оценки

величин x₁…x_k.

В большинстве случаев, исходное уравнение можно разложить в k – мерный ряд Тэйлора по различным степеням и получить оценки искомой величины. Дисперсия оценки величины Y будет достигать минимума в том случае, если дисперсии исходных величин (аргументов) будут минимальны.

Путем доказательства определено, что в качестве наиболее достоверного значения косвенной величины следует принимать значение, которое получено из формулы косвенной величины по средним арифметическим значениям аргументов.

. (8.15)

Дисперсия этой оценки по выборочным дисперсиям определяется по следующей зависимости:

, (8.16)

Где - коэффициент корреляции между значениями измеренных коэффициентов. Обычно =0, поскольку измерение аргументов производится неодновременно и с помощью различных средств измерения.

Статистическая дисперсия общей оценки определяется:

. (8.17)

Поскольку оценка косвенной величины получается путем математических расчетов по результатам нескольких аргументов, то она не будет точно соответствовать истинному значению величины – будет смещенной на величину систематической составляющей погрешности результата. Для некоррелированного измерения:

.

Для исключения этой систематической погрешности в рассчитанный результат нужно внести поправку q=- .

,

где - квантиль, величина которого определяет значение доверительного интервала и зависит от вида закона распределения итогового результата.

Если функция непрерывна, а результаты прямых измерений аргумента распределены нормально, то при заданной вероятности при достаточном количестве измерений для определения доверительного интервала используют распределение Стьюдента.

Если искомая величина является суммой двух величин (Y=x_i+x_j), то оценкой истинного значения косвенной величины является сумма оценок значений аргументов.

;

;

Доверительный интервал также рассчитывается в соответствии с законом Стьюдента.

Если косвенная величина является суммой m – аргументов. В этом случае оценками косвенной величины будут:

; (8.20)

( )+ . (8.21)

Доверительный интервал определяется аналогично.

8.5 Совокупные и совместные измерения

Эти виды измерений характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитываются по системе уравнений, связывающих их с другими величинами, измеряемыми прямыми, либо косвенными методами. Проводят измерения нескольких комбинаций величин.

Каждая комбинация позволяет получить соответствующее уравнение, в результате образуется система уравнений:

Q , (8.22)

Где Q_j – число искомых величин общим числом х; - полученное в i –том опыте k величин, измеренные прямыми и косвенными методами; i=1…n – число реализаций; F_i – символ функциональной зависимости.

Если Q_j является значениями одной и той же величины или однородными величинами (масса, длина), то измерения будут являться совокупными, а если Q_j является неоднородными величинами, то измерения совместные.

После подстановки в исходную систему уравнений результатов прямых или косвенных измерений и проведения преобразований получается ряд уравнений, содержащий лишь исходные величины и числовые значения. Уравнения называются условными:

)=0 (8.23)

Q ……………………….

)=0

Для получения значений искомых величин в системе необходимо иметь количество условных уравнений не меньше числа искомых величин. Из-за ограниченной точности определения измеряемых величин, истинные значения искомых величин по исковым уравнениям определить невозможно, а следует определить их оценки. Оценки искомых величин могут быть получены путем решения системы уравнений.

Если условные уравнения являются линейными или линиаризированны, решения данной системы методом наименьших квадратов обеспечивают получение состоятельных и несмещенных оценок.

Решение системы исходных уравнений методом наименьших квадратов осуществляется по стандартным программам на ЭВМ или при помощи матричного метода.

Доверительные пределы, в которых распределяются оценки искомых величин, определяют в соответствии с законом Стьюдента или с помощью неравенства Чебышева.