Литература

1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач./И.Ф. Шарыгин., 1991.

2. Пирютко О.Н. Формирование обобщенных приемов познавательной деятельности. /О.Н. Пирютко Народная Асвета» №9, 2008, стр. 32- 40.

3 . Азаров А.И., Булатов В.И. и др. Математика. Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию. – Мн., 2004.

Уравнения и неравенства с параметрами.

План

1. Понятие уравнения с параметром.

2. Аналитическое решение уравнения с параметром.

3. Графические приёмы решения задач с параметрами.

4. Функционально-графический подход к решению уравнений с параметрами.

5. Решение неравенств с параметрами.

1. Понятие уравнения с параметром.

Пусть дано уравнение

(1)

Если ставится задача отыскать все пары чисел , которые удовлетворяют уравнению, то это уравнение с двумя переменными. Если же ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества решить уравнение (1), то уравнение (1) называют уравнением с переменной х и параметром а. То есть решить уравнение с параметром – это значит, для каждого значения параметра указать соответствующее решение уравнения.

2. Аналитическое решение уравнения с параметром.

Трудности решений уравнений и неравенств с параметрами вызваны, прежде всего, тем, что в любом случае приходится производить ветвление всех значений параметра на отдельные классы, при каждом из которых уравнение или неравенство имеет решение. При этом необходимо последовательно следить за равносильностью решаемых уравнений (неравенств) с учётом области определения входящих в них выражений и учитывать выполнение отдельных операций. Необходимо знать алгоритмы решения всех типов уравнений и неравенств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решим уравнение

Решение: Это линейное уравнение. Контрольными здесь будут значения параметра , при которых невозможно деление уравнения на коэффициент при .

1. пусть , тогда получаем уравнение , которое не имеет корней;

2. Пусть , тогда получаем уравнение , решением которого является любое действительное число;

3. Если , то уравнение имеет один корень .

Ответ: при корней нет;

при

при .

Пример 2. Решим уравнение

Решение:

1. первое контрольное значение параметра . В этом случае мы получаем линейное уравнение , корнем которого является .

2. Если , то уравнение квадратное. .

Если , т.е. при , уравнение корней не имеет.

Если , т.е. при , то .

Ответ: 1) если , то ;

2) если , то корней нет;

3) если , то .

После рассмотрения примеров становится понятно, что чем сложнее тип уравнения, тем сложнее его решать аналитически.