§3. Похідна функції та її застосування

1.Поняття похідної

Розв`язування багатьох задач природознавства, геометрії, техніки зводиться до однакових математичних міркувань, внаслідок чого виникло поняття похідної. Однією з найважливіших серед цих задач є задача визначення швидкості нерівномірного руху.

Не акцентуючи увагу на конкретному фізичному змісті задач, введемо поняття швидкості змінювання функції відносно свого аргументу. Розглянемо деяку функцію на відрізку . Величину можна назвати середньою швидкістю змінювання функції на відрізку . При стягуванні цього відрізка до точки , тобто при наближенні до , дістанемо швидкість змінювання функції в точці :

. Швидкість змінювання функції в точці називають похідною функції в цій точці. Похідну позначають так: , тобто

Операція відшукання похідної функції називається диференціюванням, а функція, що має похідну в деякій точці, називається диференційованою в цій точці.

Функція, що має похідну в кожній точці деякого проміжку, називається диференційованою на цьому проміжку.

Наприкінці XVII – на початку XVIII ст.. І.Ньютон та В.Лейбніц створили диференціальне числення, яке довгий час розвивалося на основі інтуїтивного поняття похідної як швидкості змінювання функції. Строге обґрунтування похідної та інших понять стало можливим лише після того, як у першій половині XIX ст.. О.Коші ввів поняття границі.

2.Правила диференціювання

1. Похідна суми двох диференційованих функцій та дорівнює сумі їхніх похідних, тобто .

2. Похідну добутку двох диференційованих функцій знаходять за формулою

Сталий множник можна виносити за знак похідної:

3. Похідну частки двох диференційованих функцій знаходять за формулою:

4. Похідну складної функції можна знайти за формулою:

3.Таблиця похідних

1. ;

2. ; ;

3. ;

4. ;

5. ; 10. ;

6. ; 11. ;

7. ; 12. ;

8. ; 13.

9. ;

4.Похідна,її фізичний і геометричний зміст

Як було встановлено, швидкість прямолінійного руху точки є похідна координати точки за часом: . Оскільки швидкість сама є функцією часу, то можна говорити про швидкість її зміни. У фізиці швидкість зміни швидкості називається прискоренням.

Як і при введенні поняття миттєвої швидкості, матимемо, що прискорення у момент часу дорівнює: . Прискорення є похідною від похідної функції ,або, як кажуть, прискорення руху є друга похідна координати точки за часом.

Приклад . матеріальна точка рухається за законом , де - координата,м; - час,с. знайти швидкість і прискорення точки в момент часу

Для визначення швидкості знайдемо першу похідну даної функції при . ;

. Прискорення дорівнює другій похідній функції , тобто . Виявляється, що прискорення стале для довільного значення . Тобто точка рухається рівноприскорене.

Якщо функція неперервна, то,як відомо, її графік – нерозривна лінія. З`ясуємо, які особливості має графік диференційованої функції.

Припустимо, що функція диференційована в точці , тобто існує . Тоді згідно з означенням границі наближеній рівності . А тому і наближеній рівності (1) можна забезпечити будь-яку задану точність, якщо брати з достатньо малого околу точки . Записавши наближену рівність (1) у вигляді , помічаємо, що диференційована в точці функція у малому околі цієї точки поводить себе як лінійна функція (2) - ця пряма, що проходить через точку і має кутовий коефіцієнт , називається дотичною до графіка функції в точці .

Диференційованість функції в точці рівнозначна існуванню невертикальної дотичної у відповідній точці її графіка. Значення похідної дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної, тобто тангенсу кута нахилу дотичної до осі . Це і є геометричним змістом похідної.

Приклад1. Знайти похідні для заданих функцій:

а) ; б) ; в) .

Розв`язання. а) За правилом диференціювання складної функції .

Тому . При цьому використовувались наступні формули диференціювання основних елементарних функцій:

; .

б) Дана функція є добутком двох складних функцій. Похідна добутку обчислюється за формулою. , звідки

при цьому використовувались наступні формули диференціювання основних елементарних функцій: , і відома формула тригонометрії .

в) Дана функція є часткою двох складних функцій. Похідна частки обчислюється за формулою , звідки

При цьому використовувались такі формули диференціювання: , .

Приклад2. знайти рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в точці =1.

Розв`язання. Для функції, заданої явним рівнянням , рівняння дотичної прямої до графіка в точці , має вид , а рівняння нормалі (прямої, перпендикулярної до дотичної в точці дотику) - (3). Тому, оскільки

,

то, підставивши ці значення в формули (2) – (3), послідовно знайдемо:

рівняння дотичної y–1 = -1 (x–1) або x+y–2 = 0;

рівняння нормалі y–1 = x–1 або x–y = 0;

Приклад 3. Провести повне дослідження заданої функції і побудувати її графік: .

Розв'язання: Розіб'ємо дослідження функції на декілька етапів.

а) Знайдемо область визначення, інтервали неперервності і точки розриву функції.

Область визначення D (f) ={x: x¹1}=(–¥;1) (1;¥). Дана функція неперервна, як елементарна, в кожній точці області визначення D(f), тобто неперервна в кожному з інтервалів (–¥;1) і (1;¥). Оскільки функція невизначена в точці x=1, то ця точка є точкою розриву функції.

Тут же також можна виявити деякі властивості функції такі, як: парність, непарність, періодичність і т.п. Досліджувана функція не є ні періодичною, ні парною, ні непарною.

Знайдемо ще точки перетину графіка з осями координат:

точка перетину з віссю Oy: x = 0 Þ y = 0;

точка перетину з віссю Ox: y = 0 Þ х = 0, тобто крива проходить через початок координат.

б) Знайдемо асимптоти графіка.

Вертикальні асимптоти можуть бути тільки в граничних точках інтервалів неперервності функції, зокрема в точках розриву. Тому асимптота може бути тільки в точці x=1. Обчислимо односторонні границі функції y(x) в цій точці.

Ліва границя:

Права границя:

Таким чином, обидві границі рівні нескінченності, і пряма x=1 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти задаються рівняннями y=kx+b , де коефіцієнти k і b рівні наступним границям ^*)

Оскільки k_- = k₊ = 1, b₊ = b_- = 0, то пряма y=x є похилою асимптотою при x®+¥ і при x®-¥.

в) Визначимо, використовуючи похідну, інтервали монотонності функції та її екстремуми.

Критичні точки, тобто точки, що належать області визначення і, в яких похідна y¢=0 або не існує, знайдемо, прирівнюючи нулю її числівник і знаменник:

Критичні точки і точка розриву розбивають числову вісь на чотири інтервали, в кожному з яких похідна зберігає знак, а отже, функція є монотонною. Підставивши довільні значення змінної з цих інтервалів, знаходимо знак похідної на кожному з них, наприклад, x = -1Î(-¥; 0), y¢(–1)=5/4>0Þ y (x) монотонно зростає на цьому інтервалі. Результат зручно оформити у вигляді табл. 1.

Таблиця 1

x	(-¥; 0)	0	(0; 1)	1	(1; x2)	x2	(x2;¥)
y¢	+	0	–	Не існує	–	0	+
y		max y=0		Не існує		min y»2.11

Оскільки в точці x=0 похідна змінює знак з плюса на мінус, то функція має в цій точці максимум. Підставивши x=0 в функцію, знаходимо його значення y(0) = 0. В точці похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто функція має мінімум, його значення .

г) Визначимо, використовуючи похідну другого порядку, інтервали опуклості графіка і точки перегину.

Критичні точки другого роду, тобто точки, що належать області визначення і, в яких похідна другого порядку або не існує, знайдемо, прирівнюючи нулю її чисельник і знаменник:

Критичні точки другого роду і точка розриву розбивають числову вісь на чотири інтервали, в кожному з яких друга похідна зберігає знак, а отже, графік функції зберігає напрям опуклості. Підставляючи довільні значення змінної x із цих інтервалів в другу похідну, знаходимо її знак в кожному з них, наприклад, x = -1Î(x₂; 0), Þ графік функції y(x) на цьому інтервалі опуклий вгору. І тут, як і в попередньому розділі, результат досліджень оформимо у вигляді табл. 2.

Таблиця 2

x	(-¥; x2)	x2	(x2; 0)	0	(0; 1)	1	(1; ¥)
y²	+	0	–	0	–	не існує.	+
y	È	точка перегину	Ç	перегину нема	Ç	не існує.	È

Оскільки в точці » –1.26 друга похідна змінює знак, то точка графіка з координатами (x₂; y(x₂)), де y(x₂)= -0.84, є точкою перегину графіка. В точці x=0 друга похідна не змінює знак, тому точка графіка з координатами (0; 0) не є точкою перегину (як ми знаємо, x= 0 є точка максимуму)

д) Використовуючи отримані відомості, будуємо графік функції (рис. 1).

Рис. 1

Побудову його починаємо з асимптот і характерних точок графіка (екстремуми, точки перегину, точки перетину з осями координат). Слід врахувати, що на достатньому віддаленні від початку системи координат графік практично співпадає з асимптотами.

Приклад 4. Знайти найбільше і найменше значення функції

y = 3x⁴-20x³-36x²+5 на відрізку [-1; 1].

Розв'язання: Як відомо, неперервна на відрізку [a;b] функція досягає на ньому свого найменшого і найбільшого значень або всередині відрізка – в точках екстремуму, або на його кінцях – в точках x = a і x = b.

Дана функція є елементарною, визначена, а значить і неперервна на всій осі. Знайдемо критичні (підозрілі на екстремум) точки, що лежать на заданому відрізку, тобто точки, в яких похідна y¢ дорівнює нулю або не існує. Оскільки похідна y¢ = 12x³-60x²-72x визначена (існує) в усіх точках, то залишається знайти її нулі, розв’язавши рівняння

12x³-60x²-72x=0 Þ 12x (x²-5x-6) = 0 Þ 12x (x-6) (x+1)=0.

З трьох коренів цього рівняння x₁ = 0, x₂ = -1, x₃ = 6 тільки перші два лежать на заданому відрізку [-1; 1]. Обчислимо значення функції в цих точках і на кінцях відрізка: y(-1) = -8; y(0) = 5; y(1) = -48. Порівнюючи ці значення, знаходимо

Завдання для самостійної роботи

1.Знайти похідні для заданих функцій:

а) ;

Відповідь:

б) ;

Відповідь:

в) ;

Відповідь: .

2.Знайти рівняння дотичної і нормалі до графіка функції:

,

Відповідь: дотична: , нормалі:

3. Провести повне дослідження заданої функції і побудувати ескіз її графіка: .

4. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку :

; .

Відповідь: найбільше значення , найменше значення .