§13. Розв’язання вправ на дослідження рядів на збіжність

Визначення. Сума членів нескінченної числової послідовності називається числовим рядом.

При цьому числа будуть називатися членами ряду, а u_n – загальним членом ряду.

Визначення. Суми , n = 1, 2, … называються частковими сумами ряду.

Таким чином, можливо розглядати послідовності часткових сум ряду

S₁, S₂, …,S_n, …

Визначення. Ряд называєтся збіжним, якщо збігається послідовність його частковых сум. Сума збіжного ряду – граніця послідовності його часткових сум.

Визначення. Якщо послідовність часткових сум ряду розбігається, тобто не має границі, або має нескінченну границю, то ряд называється розбіжним.

Якщо ряд збігається, то необхідно, щоб загальний член u_n прагнув до нуля. Проте, ця умова не є достатньою. Можна говорити тільки про те, що якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд точно розбігається. Наприклад, так званий гармонійний ряд є розбіжним, хоча його загальний член і прагне до нуля.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Знайдемо - необхідна ознака збіжності не виконується, означає ряд розходиться.

Якщо ряд сходиться, то послідовність його часткових сум обмежена.

Проте, ця ознака також не є достатньою.

Наприклад, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)ⁿ⁺¹+… розходиться, оскільки розходиться послідовність його часткових сум внаслідок того, що

Проте, при цьому послідовність часткових сум обмежена, оскільки при будь-якому n

Ознака Даламбера.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо для ряду з додатними членами існує таке число q<1, що для всіх достатньо великих n виконується нерівність

то ряд сходиться, якщо ж для всіх достатньо великих n виконується умова

то ряд розходиться.

Гранична ознака Даламбера.

Гранична ознака Даламбера є наслідком з приведеної вище ознаки Даламбера. Якщо існує , то при  < 1 ряд сходиться, а при  > 1 – розходиться. Якщо = 1, то на питання про збіжність відповісти не можна.

Приклад. Визначити збіжність ряду .

Висновок: ряд збігається.

Приклад. Визначити збіжність ряду

Висновок: ряд збігається.

Ознака Коші. (радикальна ознака)

Якщо для ряду з від’ємними членами існує таке число q<1, що для всіх достатньо великих n виконується нерівність

,

то ряд сходиться, якщо ж для всіх достатньо великих n виконується нерівність

то ряд розходиться.

Слідство. Якщо існує границя , то при <1 ряд сходиться, а при >1 ряд розходиться.

Приклад. Визначити збіжність ряду .

Висновок: ряд сходиться.

Приклад. Визначити збіжність ряду .

,

Тобто ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність ряду. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне до нуля.

Таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, значить, ряд розходиться.

Знакопереміжні ряди.

Знакопереміжний ряд можна записати у вигляді:

де

Ознака Лейбніца.

Якщо у знакопереміжного ряду абсолютні величини u_i спадають і загальний член прагне до нуля , то ряд сходиться.

Абсолютна і умовна збіжність рядів.

Розглянемо деякий знакозмінний ряд (з членами довільних знаків). (1)

і ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (1):

(2)

Теорема. Із збіжності ряду (2) виходить збіжність ряду (1).

Визначення Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .

Очевидно, що для знакопостійних рядів поняття збіжності і абсолютної збіжності співпадають.

Визначення. Ряд називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд розбігається.

Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів.

Нехай - знакозмінний ряд.

Ознака Даламбера. Якщо існує границя , то при <1 ряд буде абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді на питання про збіжність ряду.

Ознака Коші. Якщо існує границя , то при <1 ряд буде абсолютно збіжним, а при >1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді на питання про збіжність ряду.

Приклад. Визначити збіжність ряду

Скористаємося ознакою Лейбніца. Оскільки

і , то даний ряд збігається.

Приклад. Визначити збіжність ряду

Оскільки і , то за ознакою Лейбніца ряд збігається.

Завдання для самостійної роботи

1. Визначити збіжність рядів: а) ; б)

за допомогою необхідної ознаки .

Відповідь: а) розбігається; б) розбігається

2. Визначити збіжність рядів: а) ; б) ; в) за ознакою Даламбера.

Відповідь: а) розбігається; б) розбігається; в) збігається.

3. Визначити збіжність ряду: .

Відповідь: збігається.