Транспортная задача

Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение. Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

Транспортные задачи весьма разнообразны и предназначены для решения не только задач, связанных с транспортом. Данные модели решают такие задачи, как:

• задачи управления запасами;

• задачи распределения ресурсов;

• задачи о назначениях;

• задачи определения баланса спроса и предложения и т.д.

Многие «нетранспортные» задачи можно переформулировать как транспортные и применить к ним соответствующие методы решения транспортных задач. Для решения транспортных задач разработано много специаль­ных методов, которые учитывают специфику таких задач. Однако эти методы предназначены, как правило, для выполнения ручных вычислений. Сегодня транспортные задачи, особенно большого размера, на компьютерах решаются просто как линейные модели оптимизации.

Общая структура транспортных моделей

Транспортная задача формулируется просто. Имеется п пунктов отправления О₁, О₂, ..., Оn, где ожидают отправления запасы грузов объемом а₁ а₂, ..., а_п соответственно (объемы грузов могут измерять­ся в кубических метрах, килограммах или тоннах, штуках и т.п.). Имеется т пунктов назначения Н₁, Н₂,..., Нm„ где ожидают прибытия грузов объемом b_1, b_2, ..., b_m соответственно. Задаются также удельные затраты (стоимости) c(i,j) на перевозку единицы груза из пункта отправ­ления O_i в пункт назначения Нj. Необходимо составить такой план перевозок всех грузов из пунктов отправления в пункты назначения, чтобы минимизировать общие транспортные затраты.

В зависимости от того, совпадают или нет суммарные объемы грузов в пунктах отправления и пунктах назначения, различают три типа транспортных задач.

1. Если сумма грузов в пунктах отправления равна сумме ожидаемых грузов в пунктах назначения, то такая транспорт­ная задача называется сбалансированной.

2. Если сумма грузов в пунктах отправления меньше суммы ожидаемых грузов в пунктах назначения, то это несбалансированная задача с дефицитом.

3. Если сумма грузов в пунктах отправления больше суммы ожидаемых грузов в пунктах назначения, то имеем несбалансированную задачу с избытком.

Примечание. Если невозможна транспортировка грузов из некоторо­го пункта отправления Оi в некоторый пункт назначения Нj, то в этом случае полагают, что соответствующая стои­мость перевозки равна бесконечности. На практике в компьютерных моделях эту «бесконечность» заменяют достаточно большим положительным числом, напри­мер, на два или три порядка превышающим максимум всех остальных удельных стоимостей перевозок.

Математическая модель транспортной задачи

Для построения математической модели надо определить переменные решения, записать целевую функцию и сформировать ограничения. Обозначим через x(ij) количества (объемы) грузов, пере­возимых из пункта Оi, в пункт Нj (i принимает значения от 1 до n, а j — от 1 до m). Это переменные решения.

Переменные решения x₁₁, x₁₂…xn,m количества (объемы) грузов, перевозимых из пунктов отправления О₁, О₂,..., Оn в пункты назначения Н₁, Н₂,..., Нm соответственно. Всего имеем n*m переменных. На эти переменные налагаются условия неотрицательности.

Переменные принятия решений и удельные стоимости перевозок удобно записать в виде матриц переменных решений X:

x11	x12	…	x1m
x21	x22	…	x2m
…	…	…	…
xn1	xn2		xnm

и стоимостей С:

с11	c12	…	c1m
c21	c22	…	c2m
…	…	…	…
cn1	cn2		cnm

Целевая функция, которую следует минимизировать, записы­вается как:

Z = c₁₁*x₁₁ + c₁₂*x₁₂ + … + c₁m*x₁m + c₂₁*x₂₁ + c₂₂*x₂₂ + … + c₂m*x₂m + …

+ cnm*xnm

Ограничения для разных типов транспортной задачи будут выглядеть следующим образом: