Формула определения коэффициента эластичности

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака x на один процент

Формула определения бета-коэффициента

Бета-коэффициент показывает, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину своего среднеквадратического отклонения

После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка его адекватности и точности. Эти свойства модели исследуются на основе анализа ряда остатков (отклонений расчетных значений от фактических).

Корреляционный и регрессионный анализ (особенно в условиях так называемого малого и среднего бизнеса) проводится для ограниченной по объему совокупности. Поэтому показатели регрессии, корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенной модели.

Значения , соответствующие данным при теоретических значениях и , являются случайными. Случайными являются и рассчитанные по ним значения коэффициентов и .

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии проводится по t-критерию Стьюдента путем проверки гипотезы о равенстве нулю каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют, насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных величин.

Для соответствующих коэффициентов регрессии применяют формулы.

Формулы для определения t-критерия Стьюдента

Расчетные значения t-критерия сравниваются с табличным значением критерия , которое определяется при степенях свободы и соответствующем уровне значимости .

Если расчетное значение t-критерия превосходит его табличное значение , то параметр признается значимым. В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используется F-критерий Фишера. В случае парной линейной регрессии значимость модели регрессии определяется по формуле:

Формула определения f-критерия Фишера

Если при заданном уровне значимости расчетное значение F-критерия с , степенями свободы больше табличного, то модель считается значимой, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность

Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки (выполнения предпосылок МНК) осуществляется на основе анализа ряда остатков.

Требование	Методы проверки требований
Первое	Для проверки свойства случайности ряда остатков можно использовать критерий поворотных точек (пиков). Точка считается поворотной, если выполняются следующие условия: или . Далее подсчитывается число поворотных точек р. Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства: . Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа, заключенного в скобки. Если неравенство выполняется, то модель считается адекватной
Второе	Для проверки равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю вычисляется среднее значение ряда остатков . Если , то считается, что модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего. Если , то проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю математического ожидания. Для этого вычисляют t-критерий Стьюдента по формуле: , где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка). Значение t-критерий сравнивают с табличным . В случае, если выполняется неравенство , то модель неадекватна по данному критерию
Третье	Дисперсия уровней ряда остатков должна быть одинаковой для всех значений (свойство гомоскедастичности). Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Для оценки гетероскедастичности, при малом объеме выборки, можно использовать метод Гольдфельда-Квандта, суть которого заключается в следующем: - необходимо расположить значения переменной в порядке возрастания; - разделить совокупность упорядоченных наблюдений на две группы; - по каждой группе наблюдений построить уравнения регрессии; - определить остаточные суммы квадратов для первой и второй групп по формулам: ; - рассчитать критерий или (в числителе должна быть большая сумма квадратов). При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности критерий будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы и для каждой остаточной суммы квадратов (где m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии). Чем больше величина превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин
Четвертое	Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществляют с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона. Он определяется по формуле: . Расчетное значение критерия сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона. Возможны следующие случаи: а) если d < , то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков; б) если (включая сами эти значения), то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и следует использовать дополнительный критерий, например, первый коэффициент автокорреляции: Если расчетное значение коэффициента по модулю меньше табличного значения , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается. в) если , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию; г) если d>2, то это свидетельствует от отрицательной автокорреляции остатков. В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле: и сравнивать с критическим значением , а не d
Пятое	Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения можно осуществить с помощью R/S-критерия, который определяется по формуле: , где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка). Расчетное значение R/S-критерия сравнивается с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения) и если значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае гипотеза принимается