Лекции / Лекции поэлектротехнике(1-аячасть базового курса) / C00K04TO
.DOCЛЕКЦИЯ №4.
Метод узловых потенциалов.
Этот метод позволяет уменьшить число уравнений Кирхгофа за счет исключения уравнений 2-го закона. На схеме принимаем потенциал точки "О" равным нулю.
Выразим токи всех ветвей, примыкающих к узлу "а" по закону Ома:
На основании 1-го закона Кирхгофа:
т.е.
.
Аналогичного вида уравнения могут быть получены для узла ‘b’, а также для любого узла более сложной схемы.
Анализ уравнений показывает, что для любого узла алгебраическая сумма произведений эдс на проводимость всех подключенных к нему ветвей равна
а) потенциалу данного узла, умноженному на сумму проводимостей подключенных к нему ветвей,
б) минус произведение потенциалов остальных узлов, умноженных каждый на сумму проводимостей ветвей, соединяющих узел с тем, для которого пишется уравнение.
Если эдс направлена к узлу, то EkGk входит в уравнения с "плюсом", от узла - с "минусом".
Источники тока следует учитывать в левой части уравнений с "плюсом", если они направлены к данному узлу.
Общий вид уравнений:
где:
G11 - сумма проводимостей ветвей, подключенных к 1-му узлу,
G12 - сумма проводимостей ветвей, соединяющих 1-й узел со 2-м.
Уравнения записываются для (n - 1) узлов и решаются, например, с помощью определителей. По полученным узловым потенциалам определяются токи ветвей с помощью закона Ома.
Метод наложения (суперпозиции).
Пусть для некоторой электрической цепи записаны уравнения Кирхгофа вида:
Решение системы линейных уравнений однозначно определяет токи.
Предполагая поочередно в этой же цепи наличие только одной эдс при прочих равных нулю, можно для каждой эдс вычислить соответствующие токи ветвей, составив уравнения:
для Е1,
для Е2.
и так далее.
Сложив уравнения почленно, получим:
Полученная система имеет единственное решение для неизвестных
и т.д.
Из сравнения исходных уравнений и только что полученных следует, что решения должны совпадать, т.е.
Таким образом, ток каждой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, образованных действием каждой эдс в отдельности (принцип наложения).
На этом основан расчет цепей методом наложения.
Напряжение на участке цепи с сопротивлением R:
т.е. принцип наложения применим и к напряжениям.
Принцип наложения применим также и к источникам тока. При этом остальные источники тока отключаются.
Принцип наложения не применяется для мощностей - квадратичных функций токов и напряжений.
Преобразование электрических цепей.
Различные преобразования применяются обычно совместно с другими методами расчета. При этом цепь остается эквивалентной заданной, но расчет токов значительно упрощается.
Принцип взаимности.
Если эдс, действуя в одной ветви сложной цепи /q/ при отсутствии прочих эдс, вызывает в другой ветви / l / ток Il , то такая же эдс, действуя в ветви l при отсутствии прочих эдс, вызовет в первой /q/ такой же ток
Согласно методу контурных токов :
Так как для системы
ток в ветви l определяется из
где
,
а алгебраические дополнения вида получаются из , путем вычеркивания l - столбца и q - строки и умножения полученного определителя на .
Общие сопротивления Rq l и Rl q. равны, т.к. R12 =R21 , R23 =R32 и т.д. Поэтому и отличается только тем, что строки являются столбцами .
Следовательно
Принцип может быть применен, например, для определения токов в различных ветвях схемы при одной эдс.
Входные и взаимные проводимости.
В соответствии с методом контурных токов
.
Отношение
называется входной проводимостью ветви l. Она равна отношению тока и эдс одной и той же ветви при отсутствии эдс в других ветвях. Обратная величина называется входным сопротивлением.
Отношение
называется взаимной проводимостью и определяется отношением тока в одной ветви к эдс в другой ветви при отсутствии эдс в прочих ветвях. В соответствии с принципом взаимности.
Кроме того, в общем случае входная проводимость некоторой ветви равна сумме взаимных проводимостей между данной ветвью и каждой из остальных, присоединенных к одному из двух узлов, к которым подключена эта ветвь.
В самом деле, по 1-му закону Кирхгофа для узла
или
и
Входные и взаимные проводимости удобно использовать при расчете цепей методом наложения.