Лекции / Лекции поэлектротехнике(1-аячасть базового курса) / C00K03TO

ЛЕКЦИЯ №3.

Теория электрических цепей постоянного тока при установившемся режиме.

Основные определения и законы цепей.

Задачей анализа является отыскание токов и напряжений ветвей в заданной электрической цепи, где известны значения всех ее элементов, включая напряжения и токи источников. Далее рассматриваются линейные цепи (составленные из линейных элементов) при установившемся режиме. При подключении цепи установившейся режим наблюдается не сразу - необходимо некоторое время для перехода от прежнего состояния к новому (переходной режим), которое является следствием невозможности скачкообразного изменения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Будем считать, что прошло достаточное время и переходный режим закончен.

Постоянные токи и напряжения в электрических цепях возбуждаются источниками постоянного напряжения и тока. При этом для любой ветви, в общем случае составленной из пассивных элементов R, L и C, можно записать:

.

Так как в установившемся режиме ток не изменяется, то на индуктивности

,

.

а ток через емкость при постоянном напряжении на ней

,

.

Таким образом, индуктивность не оказывает сопротивления протеканию постоянного тока, а емкость вообще не проводит постоянного тока. Поэтому при расчете цепей постоянного тока в качестве пассивных элементов рассматривается только сопротивления.

Основным уравнением для анализа цепей являются известные из курса физики законы Ома и Кирхгофа. Записывая их для цепей постоянного тока, условимся неизменные во времени эдс, токи и напряжения обозначать большими буквами. Тогда

- 1-ый закон Кирхгофа,

- 2-ой закон Кирхгофа.

Очень важно уметь безошибочно записывать закон Ома для участка цепи.

Для левого контура по 2-му закону Кирхгофа

.

Обозначив

,

получим

.

Тогда

.

В более общем случае

.

Это и есть закон Ома для участка цепи. Порядок индексов определяет принятые положительные направления тока, эдс и напряжения.

Распределение электрического потенциала вдоль цепи.

(потенциальная диаграмма ).

Для изображенной на рисунке цепи считая параметры ее и токи известными, найдем потенциалы всех точек, приняв потенциал одной из точек (А) за исходный (произвольной величины). Получим

Представив изменение потенциала на графике в осях и R, получим потенциальную диаграмму.

Потенциальная диаграмма графически отображает второй закон Кирхгофа. Действительно сложив полученные уравнения получим:

.

При этом тангенс угла наклона линии графика пропорционален току:

.

Практически потенциал исходной точки принимается равным нулю.

Расчет сложных цепей постоянного тока.

Различают две задачи расчета:

а). Анализ электрических цепей, т.е. определение токов, напряжений и мощностей участков по заданным конфигурации цепи и ее элементам;

б). Синтез электрических цепей, где по заданным напряжениям и токам на участках определяется конфигурация цепи и выбираются ее элементы.

Ниже рассматриваются методы анализа электрических цепей.

Метод составления и решения уравнений Кирхгофа.

Положим, что в схеме, содержащей "m" ветвей к "n" узлов, задан­ными являются все элементы и конфигурация, а искомыми - токи в ветвях. Число неизвестных при этом равно числу ветвей.

Наметим путь расчета.

1). Выбираем произвольно положительные направления токов в ветвях (удобно в ветвях с источниками напряжений направить токи по стрелке эдс).

2). Составляем уравнения 1-го закона Кирхгофа. Возможно составление "n" уравнений вида:

Нетрудно заметить, что каждый ток войдет в два уравнения с противоположными знаками. Поэтому сумма уравнений тождественно равна нулю, т.е. одно из уравнений вытекает из n-1 остальных. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить

n - 1

независимых уравнений.

3). Недостающие для определения "m" неизвестных токов уравнения должны быть записаны по 2-ому закону Кирхгофа. Их необходимо иметь

m - (n - 1) = m - n + 1 .

Если ко всем ветвям применить закон Ома, то получится "m" уравнений вида:

,

где - напряжение между узлами i и р ,

Е_k , I_k - эдс источника и ток в к-ой ветви, направленные от узла к узлу р,

R - сопротивление к-ой ветви.

Более удобна запись:

.

В систему уравнений закона Ома входят "m" неизвестных токов I_k и n-1 неизвестных потенциалов (потенциал одного узла принимается равным нулю). Если исключить эти неизвестные потенциалы, останется

m - n + 1

уравнений, связывающих эдс источников с напряжениями на сопротивлениях, т. е. уравнения 2-го закона Кирхгофа. Для того, чтобы уравне­ния были независимыми, необходимо, чтобы в каждое последующее входила хотя бы одна новая ветвь. Практически удобно записывать уравнения для контуров, не имеющих внутри ветвей, т. е. для ячеек.

4). Количество необходимых уравнений 1-го и 2-го законов Кирхгофа легко устанавливается по графу цепи. Для этого составляется дерево графа. Ранее установлено, что число ветвей дерева графа как раз равно

n - 1,

т. е. равно числу необходимых и достаточных уравнений 1-го закона Кирхгофа. Число необходимых и достаточных уравнений 2-го закона Кирхгофа

m - n + 1

равно числу ветвей связи.

5). При расчете цепей часто определяется мощность источников и при­емников энергии. Следует учитывать, что должен соблюдаться закон сохранения энергии, вследствие которого

В левой части уравнения при совпадении направлений Е_h и I_h произведение положительно, а при несовпадении- отрицательно.

6). При наличии в схеме источников тока их следует учитывать при записи уравнений 1-го закона Кирхгофа. Отдаваемая ими энергия учиты­вается в левой части уравнения баланса мощностей.

7). Если ток определен отрицательным, то его действительное направ­ление противоположно принятому в начале расчета.

Метод контурных токов (ячеек).

Является одним из основных методов расчета сложных цепей. Он заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основа­нии 2-го закона Кирхгофа так называемые контурные токи. При этом исключаются уравнения 1-го закона Кирхгофа.

Для независимых контуров по 2-ому закон Кирхгофа :

Исключим токи внутренних ветвей, выразив их через токи внешних

Полученная система уравнений содержит три неизвестных I₁ , I₂ , I₃ , через которые могут быть затем определены I₄ и I₅ .

Уравнения могут быть записаны сразу, если приписать каждой ячей­ке некоторый контурный ток, совпадающий с током внешних ветвей. Тогда в каждой ячейке алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме произведений

а) контурного тока данной ячейки на сумму сопротивлений конту-

ра;

б) контурных токов каждой смежной ячейки - на сопротивления смеж-

ных ветвей.

Правило знаков остается таким же, как и при записи уравнений 2-го закона Кирхгофа.

Общий вид уравнений для "n" контуров:

где R_nn - сумма сопротивлений n-ой ячейки,

R_n2 - сумма сопротивлений ветви, общей для n-ого и 2-го контуров,

Е_n - алгебраическая сумма эдс n-ого контура.

Полученная система может быть решена с помощью определителей:

.............................................................

где

- определитель системы,

- алгебраическое дополнение, полученное из определителя системы умножением на и исключением i-ой строки и k-гo столбца.

Если схема содержит источники тока, то можно принять ток каждо­го замыкающимся по ветви любого незамкнутого контура, дополняющего ветвь с источником тока до замкнутого. Падение напряжения за счет такого тока на сопротивлении контура учитывается вместе с падением напряжений от контурных токов.