4.2. Статистические методы оценки риска

4.2.1.Статистичний метод

Статистический метод заключается в изучении статистики затрат и прибыли, которые имели место на данном или аналогичном предприятии, с целью определения вероятности события, установления величины риска. Вероятность означает возможность получения определенного результата.

Особый интерес представляет количественная оценка экономического риска с помощью методов математической статистики. Главные инструменты этого метода оценки (табл. 4.1.):

• вероятность появления случайной величины ( );

• математическое ожидание (М) или среднее значение ( ) исследуемой случайной величины (последствий какого-либо действия, например дохода, прибыли и т.п.);

• дисперсия ( );

• стандартное (среднее) отклонение ( );

• коэффициент вариации ( );

• распределение вероятности исследуемой случайной величины.

Таблица 4.1. Абсолютные и относительные показатели измерения риска на основе статистического метода оценки

Показатель	Формула расчета	Характеристика
Абсолютные показатели
Среднее ожидаемое значение	где хі — значение случайной величины , і = 1, 2,…n, рі — соответствующие вероятности.	Среднее ожидаемое значение связано с неопределенностью ситуации. Оно выражается в виде средневзвешенной величины всех возможных результатов, где вероятность каждого результата используется в качестве частоты или удельного веса соответствующего значения.
Дисперсия		Дисперсия - средневзвешенное из квадратов отклонений действительных результатов от средних ожидаемых значений. Характеризуя рассеяния значение случайного параметра от его среднего прогнозируемого значения (чем больше величина данной числовой характеристики, тем выше степень риска).
Среднеквадратическое отклонение		Среднее квадратическое отклонение показывает максимально возможное колебание определенного параметра от его среднеожидаемой величины и дает возможность оценить степень риска с точки зрения вероятности его осуществления (чем больше величина данной числовой характеристики, тем более рискованным является хозяйственное решение)
Относительные показатели
Коэффициент вариации		Коэффициент вариации сравнивает рискованность направлений деятельности и конкретных ситуаций по признакам (потерями), выраженными в различных единицах измерения. Коэффициент вариации может изменяться в пределах от 0 до 1. Чем меньше величина, тем более стабильна прогнозируемая ситуация и, соответственно, меньшую степень риска осуществления направления деятельности или определенного мероприятия.

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала. Для окончательного решения необходимо измерить размах или изменчивость показателей, то есть определить изменчивость возможного результата. Для этого используются показатели дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициент вариации.

Для принятия решения необходимо знать величину (степень) риска, который измеряется двумя критериями:

1) среднее ожидаемое значение (математическое ожидание)

2) колебания (изменчивость) возможного результата.

Среднее ожидаемое значение ( = М) – это средневзвешенное значение величины события, которое связано с неопределенной ситуацией.

где — значение случайной величины.

Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.

Средняя величина ( ) представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решения в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Пример 1

Если известно, что при вложении капитала в мероприятие А из 120 случаев прибыль в 12,5 тыс. грн. был получен в 48 случаях (вероятность 0,4), прибыль в 20 тыс. грн. — в 42 случаях (вероятность 0,35) и прибыль 12 тыс. грн. — в 30 случаях (вероятность 0,25), то среднее ожидаемое значение выразится в 15 тыс. грн.:

=

={(12,5х0,4) + (20х0,35) + (12х0,25)}=15 000.

Аналогично будет найдено, что при вложении капитала в мероприятие Б средняя прибыль составила 20 тыс. грн.:

{(15х0,3)+"(20х0,5) + (27,5х0,2)}=20000.

Сравнивая две суммы ожидаемой прибыли при вложении капитала в мероприятия А и Б, можно сделать вывод, что при вложении в мероприятие А величина получаемой прибыли колеблется от 12,5 до 20 тыс. грн. и средняя величина составляет 15 тыс. грн.; при вложении капитала в мероприятие Б величина получаемой прибыли колеблется от 15 до 27,5 тыс. грн. и средняя величина составляет 20 тыс. грн.

Пример 2

Допустим, что при продвижении нового товара мероприятие А из 200 случаев давало прибыль 20 тыс.грн. с каждой единицы товара в 90 случаях (вероятность 90: 200 = 0,45), прибыль 25 тыс.грн. в 60 случаях (вероятность 60:200=0,30) и прибыль 30тыс.грн. в 50 случаях (вероятность 50:200=0,25). Среднее ожидаемое значение прибыли составит:

20,0 0,45 + 25,0*30 + 30*0,25 = 24 (тыс.грн.)

Осуществление мероприятия Б из 200 случаев давало прибыль 19 тыс.грн. в 85 случаях, прибыль 24 тыс.грн. в 60 случаях, 31 тыс.грн. в 50 случаях. При мероприятии Б средний ожидаемый доход составит:

19,0*(85:200) + 24,0* (60:200) + 31,0*(50:200) =23,0 (тыс.грн)

Сравнивая величины ожидаемой прибыли при вложении капитала в мероприятия А и Б, можно сделать вывод о том, что величина получаемой прибыли при мероприятии А колеблется от 20, до 30,0 тыс.грн., средняя величина составляет 24тис.грн.; в мероприятии Б величина получаемой прибыли колеблется от 19,0 до 31, 0 тыс.грн и средняя величина равна 23,0 тыс.грн.

Однако для принятия решения необходимо так же измерить колебания показателей, т. е. определить меру изменчивости возможного результата.

Колебания возможного результата представляет собой степень отклонения ожидаемого значения от средней величины.

Для этого на практике обычно применяют два близко связанных критерия: «дисперсию» и «среднеквадратичное отклонение».

Дисперсия — среднее взвешенное из квадратов отклонений действительных результатов от средних ожидаемых.

Среднеквадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии.

Он является именуемой величиной и указывается в тех же единицах, в которых измеряется; признак, варьирует:

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение служат мерами абсолютного колебания и измеряются в тех же физических единицах, в которых измеряется признак, варьирует. Для анализа обычно используется коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической и показывает степень отклонения полученных знаний:

_или

Коэффициент вариации — относительная величина. Поэтому на его размер не оказывают влияние абсолютные значения изучаемого показателя.

С помощью коэффициента вариации можно сравнивать даже колебания признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации может изменяться от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колебания.

В экономической статистике установлена такая оценка различных значений коэффициента вариации:

До 10% — слабое колебание;

В 10-25% — умеренная;

Свыше 25% — высокое.

Соответственно, чем выше колебания, тем больший риск.

Пример 3

Предприятию необходимо оценить риск того, что покупатель оплатит товар в срок при заключении договора поставки продукции. Исходные данные для анализа сведены в таблицу 4.2, при этом сделки с данным партнером заключались в течение 10 месяцев.

Таблица 4.2 - Исходные данные

Месяца			1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
Срок оплаты в днях	А	70		39		58		75		80		120		70		42		50		80
	В	50		63		32		89		61		45		31		51		55		50

Решение

Определить срок оплаты счета в анализируемом месяце. Прежде всего определим средневзвешенный срок оплаты счета по формуле:

где R — средневзвешенный срок оплаты;

— срок оплаты по месяцам;

— вероятность наступления i-го значения.

Где определяются по формуле:

— количество значений признака, что повторились;

n — общее количество событий (Табл. 4.3).

Таблица 4.3 - Вероятность наступления i-того значения

i		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
	A		0,2		0,1		0,1		0,1		0,2		0,1		–		0,1		0,1		–
	B		0,2		0,1		0,1		0,1		0,1		0,1		0,1		0,1		0,1		–

Подставляем исходные данные и подсчитанные вероятности в формулу R = * , определяем средневзвешенный срок оплаты счета. Рискованность данной сделки определяется с помощью стандартного отклонения, т. е. возможное отклонение как в худшую, так и в лучшую сторону ожидаемого значения показателя, рассчитывается, от его среднего значения. Чем больше величина стандартного отклонения, тем больше разброс возможного результата, тем выше предпринимательский риск в данной сделке.

где D — дисперсия.

Затем найдем — среднеквадратическое отклонение как корень квадратный из дисперсии. Подставив в данные формулы значения переменных, вычислим, что:

= 499, = 22,3 дня; = 247,7, = 15.7 дня.

Из рассчитанных значений стандартных отклонений можно сделать вывод, что заключение сделок с фирмой В менее рискованное, поскольку и средний срок оплаты, и разброс результата для этой фирмы меньше. В случае, если необходимо сравнить два варианта соглашения с различными ожидаемыми результатами и разным риском, особый интерес представляет показатель, который называется коэффициентом вариации:

где = 68,4 = 68 дней

= 52,7 = 53 дней

— коэффициент вариации;

— стандартное отклонение;

R — ожидаемый результат.

Полученный показатель дает характеристику риска на единицу ожидаемого результата. Благодаря сравнению коэффициентов вариации двух проектов, выбирается проект с наименьшим коэффициентом.

В нашем примере = 0,326, а = 0,298. В данном случае видно, что заключение сделки с фирмой В менее рискованное.

Преимущество статистического метода — простота математических расчетов, а явный недостаток — необходимость большого количества исходных данных, поскольку чем больше массив исходных данных, тем точнее расчет.

С помощью статистического метода оценки риска можно оценить не только риск конкретной сделки, но и предприятия в целом за определенный промежуток времени. Докажем это на примере.

Пример 4

Предприятие «Отар» — небольшой производитель различных продуктов из сыра. Один из продуктов — сырная паста — поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6,7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика равны 45 долл. Компания продает каждый ящик по цене 95 долл. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков нужно делать в течение месяца?

Решение

Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Вкусный сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, стоит производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.

Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он сделает 8 ящиков, а спрос будет только на 7. Каждый ящик продается по 95 долл. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет равна 7х95, а издержки производства 8 ящиков равны 8х45. Итого прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна: 7х95 — 8х45 = 305 долл. Аналогично проводятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой (см. табл. 3.4). Как видим, наибольший средний ожидаемый прибыль равна 352,5 дол. Он соответствует производству 8 ящиков.

На практике чаще всего в подобных случаях решения принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат. Придерживаясь такого подхода, можно остановиться на рекомендации производить 8 ящиков, и для большинства ЛПР рекомендация была бы обоснованной.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратического отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение.

Вспомним необходимые для наших исследований формулы теории вероятностей:

дисперсия случайной величины равна

среднеквадратическое отклонение ,

где D и Х — соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Проводя соответствующие вычисления для случаев производства 6, 7, 8 и 9 ящиков, получаем:

6 ящиков

D(х) = (300 - 300)² (0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,1) ⁼ 0;

=0;

у = / R = 0.

7 ящиков

D(х) = 0,1x (255 - 340,5)² + (0,3 + 0,5 + 0,1)х(350 - 340,5)² = 812,5;

= = 28,5,

= / R = 28,5/340,5 = 0,08.

8 ящиков

D(х) = 0,1х(210 - 352,5)²+ 0,3х(305 - 352,5)²+ (0,1+0,5)х(305 -

352,5)²= 4061,25;

= = 63,73;

= /R= 63,73/352,5 =0,18.

9 ящиков

D(х) = 0,1 х(165 - 317)² +0,3х(360 - 317)² +0,5х(355 - 317)² +0,1х (450 -317)² = 5776;

= = 76;

= /R = 7б/317=0,24.

Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков — среднеквадратичных отклонений — очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, потому что средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше чем для 8 ящиков (352,5), а среднеквадратичное отклонение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73).

А вот целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 и 6—не очевидно, потому что риск при производстве 8 ящиков ( == 63,73) больше, чем при производстве 7 ящиков ( = 28,5) и тем более 6 ящиков, где = 0. Вся информация с учетом ожидаемых прибылей и рисков в наличии. Решение должен принимать генеральный директор компании с учетом своего опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Авторы, учитывая все приведенные числовые характеристики случайной величины — прибыли, склоняются к рекомендации производить 7 ящиков (не 8, что вытекает из максимизации прибыли без учета риска!). Предлагается сделать свой выбор.

Наиболее распространена точка зрения, согласно которой мерой риска некоторого коммерческого (финансового) решения или операции следует считать средне квадратичное отклонение (положительный квадратный корень из дисперсии) значения показателя эффективности этого решения или операции.

Действительно, поскольку риск обусловлен недетермінованістю исхода решения (операции), то чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, т. е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, то риск полностью отсутствует.

Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми. Чаще всего показателем эффективности финансового решения (операции) служит прибыль.

Рассмотрим как иллюстрацию выбор определенной личностью одного из двух вариантов инвестиций в условиях риска. Допустим, есть два проекта А и В, в которые указанное лицо может вложить средства. Проект A в определенный момент в будущем обеспечивает случайную величину прибыли. Предположим, что ее среднее ожидаемое значение (математическое ожидание) равна с дисперсией . Для проекта В эти числовые характеристики прибыли как случайной величины предполагаются равными соответственно с дисперсией . Среднеквадратические отклонения равны соответственно и . Возможны следующие случаи:

а) , следует выбрать проект А;

b) , следует выбрать проект А;

с) , следует выбрать проект А;

d) ;

e) .

В последних двух случаях решение о выборе проекта А или В зависит от отношения к риску лица, принимающего решение (ЛПР). В частности, в случае d проект А обеспечивает более высокий средний доход, однако он и более рискованный. Выбор при этом определяется тем, какой дополнительной величиной средней прибыли компенсируется для ЛПР заданное увеличение риска. В случае для проекта А риск меньший, но и ожидаемая прибыль меньше.

Пример 5

Рассмотрим два варианта производства новых товаров. Учитывая неопределенность ситуации с реализацией товаров, руководство проанализировало возможные доходы от реализации проектов в различных ситуациях (пессимистическая, наиболее вероятная, оптимистическая), а также вероятность наступления указанных ситуаций.

Результаты анализа, являются исходными данными для решения задачи, представлены в таблице 4.4.

Заметим, что в случае оптимистической ситуации проект Б обеспечит 600 единиц дохода. При этом вероятность ее наступления 0,25. Проект А обеспечит 500 единиц дохода с вероятностью 0,20, т. е. при ориентации на максимальный результат проект Б является предпочтительным. С другой стороны, в случае пессимистической ситуации проект Б обеспечит 80 единиц дохода с вероятностью ее наступления 0,25, а проект А - 100 единиц с вероятностью наступления 0,20. Т. е. при наступлении пессимистической ситуации предпочтительным является проект А.

Таблица 4.4 - Исходные данные

Характеристика ситуации	Возможный доход	Вероятность наступления ситуации
Проект А Пессимистическая Наиболее вероятна Оптимистичная	100 333,3 500	0,2 0,6 0,2
Проект Б Пессимистическая Наиболее вероятна Оптимистичная	80 300 600	0,25 0,50 0,25

Нетрудно убедится, что ХА = Хв = 320, потому что

= 100 х 0,2 + 333,3 х 0,6 + 500 х 0,2 = 320

= 80 х 0,25 + 300 х 0,5 + 600 х 0,25 = 320

Среднеквадратичное отклонение = 127, = 185. Таким образом, при одинаковых средних ожидаемых доходах колебания возможного результата в проекте Б больше, т. е. риск проекта А ниже, чем проекта Б.

Однако статистическим методом невозможно пользоваться, если исследуемый объект — новое, недавно зарегистрированное предприятие. Отметим, что дисперсия сигнализирует о наличии риска, но при этом скрывает направление отклонения от ожидаемого значения. Предпринимателю часто нужно, знать, что наиболее вероятно: потери или прибыль в результате совершения сделки.