Решение

1. Определим ожидаемый выигрыш

 

Ожидаемый выигрыш показывает, какую среднюю эффективность может иметь фирма от решения не участвовать в лотерее.

2. Определим ожидаемую полезность показателя эффективности при различных отношений к риску (е = 2,71).

М1 = (1 - 2е- 0,1 • 20) • 0,4 + (1 - 2е- 0,1 • 10) • 0,6 = 0,4 - 0,8 / 2,712 -

- 1,2 / 2,71 = 1 - 0,109 - 0,443 = 0,448;

М2 = (0,4 • 202) • 0,4 + (0,4 • 102) • 0,6 = 64 + 24 = 88;

М3 = (0,4 + 1,2 • 20) • 0,4 + (4 + 1,2 • 10) • 0,6 = 11,2 + 9,6 = 20,8.

3. Определим детерминированный эквивалент - гарантированную сумму, получение которой эквивалентно участия в лотерее. Это среднее значение показателя эффективности при соответствующем отношении к риску:

_{а) неподверженность риску: с этого}

_{б) склонность к риску: , отсюда}

_{в) нейтральность: , отсюда . Всегда должно быть равно}

_{, ,}

Премия за риск в случаях несклонности риску показывает, какие средства может потерять инвестор, не рискуя: (0,25 / 14) ×

× 100% = 1,78%.

Премия за риск в случае склонности к риску показывает, на какую величину средств инвестор может дополнительно получить или потерять, рискуя:

(0,85 / 14) • 100% = 6,07%.

Премия за риск в случае нейтральности всегда 0.

Вывод: В данной ситуации лучше рисковать.

пример 3

Определение полезности хозяйственных решений графическим методом.

Предприятие временно свободные средства - 10 000 грн и решает вопрос об их использовании по двум вариантам.

Во-первых, можно вложить деньги в некоторый инвестиционный проект. В случае неудачи предприятие теряет свои деньги, а в случае успеха - через год получает 40 000 грн.

Во-вторых, альтернативный вариант - вложить деньги в банк под 9% годовых без риска. В случае вложения средств в инвестиционный проект специалист по маркетингу считает, что вероятность успеха - 0,3.

Чтобы принять решение об использовании предприятием денег, нужно учесть мнения директора и бухгалтера. Сведения о взглядах директора и бухгалтера по полезности различных сумм доходов представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2 Полезность различных сумм доходов по мнению директора и бухгалтера предприятия

Полезность взгляда	Доход, тыс.грн.
	0	10	20	30	40
Директора	0	10	25	50	100
Бухгалтера	0	45	75	90	100

Определить вариант вложения средств с помощью критерия ожидаемого дохода; построить два графика полезности и определить по ним отношение к риску обоих специалистов; определить полезность доходов по условиям директора и бухгалтера и указать, что посоветует каждый из них по правилу ожидаемой полезности.

решение

Сначала рассчитаем ожидаемые доходы для обоих вариантов вложения средств (табл. 3.3).

Таблица 3.3. Расчет ожидаемого дохода, грн

Возможные результаты	Возможные решения		Вероятность успеха
	Инвестиции	Банк
Успех	40 000	10 900	0,3
Неудача	0	10 900	0,7
Ожидаемый доход	40 000 · 0,3 = 12 000	10 900
Дисперсия (s2)	151 400 000	0
Риск(s)	12 304,5	0
Коэффициэнт вариации	1,03	0

Дисперсия в условиях внедрения инвестиционного проекта составляет: s² = (40 000 – 12 000)² · 0,3 + (0 – 12000)² · 0,7 = 151 400 000,

_{риск -}

В случае вложения денег в банк риска нет.

По ожиданиям доходом нужно выбрать вариант вложения денег в инвестиционный проект, но, если учесть риск и рассчитать коэффициент вариации, тем более привлекательным будет вариант вложения средств в банк.

Построим два графика полезности доходов, соответственно, по взглядам бухгалтера (рис. 3.14) и директора (рис. 3.15), пользуясь шкалой полезности (см. Табл. 3.2).

Рис. 3.14. График полезности доходов по бухгалтером

Согласно графикам можно сделать вывод, что директор предприятия склонен к риску, так как его график полезности доходов выпуклый. Это также подтверждается условием склонности к риску:

U(M(x)) < M(U(x)),

де U(M(x)) — полезность ожидаемого результата; M(U(x)) — ожидаемая ползность результатов

M(x) = 12 000; U(M(x)) = 12; M(U(x)) = 30. Звідси 12 < 30.

Рис. 3.15. График полезности доходов за директором

Бухгалтер, по графику, не склонен к риску, поскольку его график - вогнутый. Это подтверждается условием несклонности к риску:

U (M (x))> M (U (x)).

M (x) = 12000; U (M (x)) = 52; M (U (x)) = 30 Отсюда 52> 30.

Теперь рассчитаем ожидаемую полезность доходов согласно взглядам директора и бухгалтера. Для этого нужно превратить шкалу доходов на шкалу полезностей по бухгалтером и директором, пользуясь соответствующими графиками.

Расчеты ожидаемой полезности согласно взглядам бухгалтера и директора подано, соответственно, в табл. 3.4 табл. 3.5.

Таблица 3.4 Расчет ожидаемой полезности по бухгалтером

Возможные результаты	Возможные решения		Вероятность
	Инвестиции	Банк
Успех	100	52	0,3
Неудача	0	52	0,7
Ожидемая полезность	100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30	52

Таблица 3.5 Расчет ожидаемой полезности за директором

Возможные результаты	Возможные решения		Вероятность
	Инвестиции	Банк
Успех	100	12	0,3
Неудача	0	12	0,7
Ожидаемая полезность	100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30	12

Вывод: По ожидаемой полезностью бухгалтер предложит вложить деньги в банк без риска (12 <30), а директор - в инвестиционный проект (52> 30).

пример 4

Два предприятия имеют временно свободные средства соответственно 50 и 100 тыс. Грн., Для которых рассматривают две альтер¬нативы использования:

1) приобретение безрисковых государственных облигаций под 7% годовых

2) финансирование инвестиционного проекта. При этом за неудачи (вероятность 0,4) предприятие теряет все свои средства, а в случае успеха - доход удваивается.

По оценкам экспертов определены полезность различных сумм доходов (табл. 3.6).

Таблица 3.6 - Полезность различных сумм доходов предприятий

Полезность	Доход, тыс.грн
	0	20	40	60	100
Предприятие 1	0	20	30	70	100
Предприятие 2	0	40	80	90	100

Решение:

Сначала определяют наиболее вероятные доходы для обоих вариантов вложений:

- Предприятие 1: приобретение облигаций 50 • 1,07 • 1 = 53,5 тыс. Грн .; инвестирования 100 • 0,6 + 0 • 0,4 = 60 тыс. грн .;

- Предприятие 2: приобретение облигаций 100 • 1,07 • 1 = 107 тыс. Грн .; инвестирования 200 • 0,6 + 0 • 0,4 = 120 тыс. грн.

Предприятиям выгоднее инвестировать средства на основе «среднего (наиболее вероятного) дохода. Но ввиду того, что облигации являются безрисковым вложением капитала, менее рискованным является приобретение облигаций (коэффициент вариации: при инвестировании составляет 0,816 против 0 для безрисковых вложений).

Для построения функции полезности дохода предприятий избран самый тип (исходная гипотеза - субъект неподвержен риска). Использовав метод наименьших квадратов, можно получить соответствующие уравнения:

- Предприятие 1: U = -1,486 + 1,034Х (где X - доход)

- Предприятие 2: U = 19,189 + 0,973Х.

Графики полезности доходов для менеджеров предприятий приведен на рис. 3.16. Они свидетельствуют, что менеджеры первого предприятия не склонны к риску, а менеджеры второго - склонны.

Рис. 3.16. График полезности доходов для менеджеров предприятий

Вероятно, что менеджеры первого предприятия направят средства в государственные облигации с гарантированным выигрышем 53,5 тыс. Грн., А второго - на инвестирование:

  = (0 + 20 + 40 + 60 + 100) / 5 = 44 тыс. Грн .;

U1 () = (-1,486 + 1,034 • 44) = 44 тыс. Грн .;

U2 () = 19,189 + 0,973 • 44) = 62 тыс. Грн .;

 (Х) = 100 • 0,6 + 0 • 0,4 = 60 тыс. Грн.

Отсюда 44 <60 (выполняется условие несклонности субъекта к риску), 62> 60 (выполняется условие склонности субъекта к риску).

Использование теории полезности при принятии решений позволяет объяснить и спрогнозировать поведение отдельных эко ¬ номической субъектов на основе их отношения к риску. Ограниченное применение рассмотренных процедур объясняется отсутствием и субъективностью информации об уровне полезности отдельных событий, их изменчивость и зависимость не только от субъекта риска, но и от факторов внешней среды.