§ 13. Векторный анализ и теория поля. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Векторное поле. Оператор Гамильтона

Вычисление таких характеристик полей, как градиент, дивергенция и ротор заключается, как уже было показано ранее, в вычислении соответствующих производных, их переменожении или суммировании и, таким образом, представляет собой некоторое действие (операцию) над полем. Общим свойством этой операции является ее векторный характер. Это свойство можно учесть и в самой форме записи способа вычисления, если определить символический вектор - оператор (набла):

(13.1)

который удовлетворяет всем правилам векторной алгебры, т. е. его можно умножать на число (скаляр) или вектор. Знак означает, что при этом соответствующая величина должна быть подставлена сюда вместе с символом векторной операции. Тогда, получим

1) умножение вектора на скаляр вектор:

(13.2)

2) скалярное умножение на вектор скаляр:

(13.3)

3) векторное умножение на вектор вектор:

(13.4)

Сравнивая далее (114)-(116) с (79), (92) и (106), получим, что в декартовой системе координат оператор запишется как

(13.5)

Определение (13.1) удобно тем, что оно пригодно для любой системы координат, в то время как (13.5) - частный случай для декартовой.      

Оператор является дифференциальным оператором а его действие, независимо от алгебраической операции, в комбинации с которой он применяется к полю в (13.2)-(13.4), подчиняется обычным правилам дифференцирования функций (сумма, произведение). В применении к сложным выражениям, содержащим комбинации скалярных или векторных полей, вычисления градиента, дивергенции или ротора на основе их определений может оказаться весьма громоздким, а при использовании символической записи становится более наглядным и простым. При этом необходимо, однако, следить, чтобы характер величин (скаляр или вектор) сохранялся на протяжении всех вычислений, а каждое промежуточное выражение имело смысл с точки зрения векторной алгебры. Например, если , - векторы, то выражение не имеет смысла, если не указана сответствующая бинарная операции: сумма, скалярное или векторное произведение.

Занятие 12

Функции комплексного переменного. Основные понятия. Аналитическая функция. Конформное отображение. Интегрирование функции комплексного переменного. Ряд Лорана

§ 14. Функции комплексного переменного. Основные понятия. Аналитическая функция. Конформное отображение. Интегрирование функции комплексного переменного. Ряд Лорана

Пример12. 1. Вычислить интеграл , где: а). l - прямая, соединяющая точки z₁= 0 и  z₂ = 1+i; б). l - ломаная ОВА,  О(0,0),  В(1,0),   А(1,1).

Решение. а). Путь интегрирования l - прямая, соединяющая точки z₁=0 и  z₂ = 1+i. Применяем к вычислению интеграла 1-й способ (формула (1)). Подинтегральное выражение имеет вид Re zdz = x(dx+idy) = xdx + ixdy. Поэтому: Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки z₁=0 и  z₂ = 1+i имеет вид y = x, . Получаем:

б). Путь интегрирования  l - ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1). Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов: и каждый из этих двух интегралов вычисляем, как выше.

Для отрезка ОВ имеем:  y = 0, , а для отрезка ВА: х = 1, . Тогда:

Заметим, что подинтегральная функция в данном примере - функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединяющим две данные точки, могут иметь различные значения, что и продемонстрировано в этом примере.

Пример12.2.

Вычислить интеграл от аналитической функции

Применяем формулу (3), первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа:

Пример 12.3.

Разложить функцию    в ряд Лорана по степеням z.

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z₁ = -1 и z₂ = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При | z | < 1 имеем:

Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:

В кольце 1 < | z | < 3:

В итоге имеем:  

В круге | z | > 3:        

В итоге имеем:  

Пример 12.4. Разложить функцию f(z) = z³·e^1/z в окрестности точки z₀ = 0.

Решение. Из основного разложения    получаем

или

Задачи для самостоятельного решения:

I. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность , используя теорему Остроградского-Гаусса для векторных полей: 1. 2. 3.

Занятие 13

Численные методы. Интерполяция.

Приближение функций. Интерполяция

Пример 13.1. Построение многочлена Лагранжа.

По таблице построим интерполяционный многочлен:

x	-1	0	1	2
y	4	2	0	1

Пример 13.2. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.

По таблице значений функции из ПРИМЕРА 1 построим интерполяционный многочлен Ньютона. Составим таблицу разделенных разностей:

-1	4	-2	0	1/2
0	2
		-2
1	0		3/2
		1
2	1

Теперь запишем интерполяционный многочлен Ньютона:

Отметим, что в силу единственности интерполяционного многочлена, мы получили тот же самый многочлен, что в ПРИМЕРЕ 1.

=

Пример 13.3. Использование остаточного члена интерполяции.

Пусть требуется составить таблицу функции на отрезке [1,10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не меньшей ?

Запишем остаточный член интерполяции при линейной интерполяции

.

Так как , то . Тогда .

Следовательно, .