§ 8. Корреляционный и регрессионный анализ. Элементы теории корреляции
Понятие зависимых и независимых случайных величин, регрессии и корреляции. Уравнение линий регрессии, параметры выборочного уравнения прямой регрессии по сгруппированным данным.
Пример
7.1. Найти
по данным
корреляционной таблицы:
Y |
X |
ny |
|||||
18 |
23 |
28 |
33 |
38 |
43 |
||
125 |
- |
1 |
- |
- |
- |
- |
1 |
150 |
1 |
2 |
5 |
- |
- |
- |
8 |
175 |
- |
3 |
12 |
52 |
- |
- |
67 |
200 |
- |
- |
1 |
8 |
7 |
- |
16 |
225 |
- |
- |
- |
- |
3 |
5 |
8 |
nx |
1 |
6 |
18 |
60 |
10 |
5 |
n=100 |
Решение: составим корреляционную таблицу в условных вариантах (в качестве ложных нулей лучше взять х4=33, т.е. С1=33, и у3=175, т.е. С2=175):
V |
U |
nv |
|||||
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
||
2 |
- |
1 |
- |
- |
- |
- |
1 |
1 |
1 |
2 |
5 |
- |
- |
- |
8 |
0 |
- |
3 |
12 |
52 |
- |
- |
67 |
1 |
- |
- |
1 |
8 |
7 |
- |
16 |
2 |
- |
- |
- |
- |
3 |
5 |
8 |
nu |
1 |
6 |
18 |
60 |
10 |
5 |
n=100 |
Теперь, по этой таблице составим еще одну – расчетную для вычисления :
U V |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
U= |
vU |
2 |
|
-2 1 -2 |
|
|
|
|
-2 |
4 |
1
|
-3 1 -1 |
4 2 -2 |
-5 5 -5 |
|
|
|
-12 |
12 |
0
|
|
-6 3 0 |
-12 12 0 |
0 52 0 |
|
|
-18 |
0 |
1
|
|
|
-1 1 1 |
0 8 8 |
7 7 7 |
|
6 |
6 |
2
|
|
|
|
|
3 3 6 |
10 5 10 |
13 |
26 |
V=
|
-1 |
4 |
4 |
8 |
13 |
10 |
|
|
uV |
3 |
8 |
4 |
0 |
13 |
20 |
48 |
конт- роль |
48
Итак,
в правых нижних углах получили
48,
значит
= 48.
Ответ: = 48.
Пример
7.2. Найти
выборочное уравнение прямой линии
регрессии Y
на Х
по данной корреляционной таблице (пример
7.1)
Решение: составим корреляционную таблицу в условных вариантах (в качестве ложных нулей лучше взять х4=33, т.е. С1=33, и у3=175, т.е. С2=175):
V |
U |
nv |
|||||
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
||
2 |
- |
1 |
- |
- |
- |
- |
1 |
1 |
1 |
2 |
5 |
- |
- |
- |
8 |
0 |
- |
3 |
12 |
52 |
- |
- |
67 |
1 |
- |
- |
1 |
8 |
7 |
- |
16 |
2 |
- |
- |
- |
- |
3 |
5 |
8 |
nu |
1 |
6 |
18 |
60 |
10 |
5 |
n=100 |
1.
Вычислим теперь
,
,
u,
v:
=
=
0,13;
=
=0,22;
=
=0,81;
=
=0,6,
значит,
u
=
=
=0,89;
v
=
=
=0,74.
Найдем
выборочный коэффициент корреляции rB
=
,
где
= 48 (см. пример
35);
=
-0,13;
=0,22;
u
= 0,89; v
= 0,74. Тогда
rB
=
=0,73.
2. С1=33, h1=23 – 18=5; C2=175, h2=150 – 125=25.
Значит,
можно вычислить
,
,
х
, y:
=
0,135+33=
32,35;
=0,2225+175=180,5;
х = uh1 = 0,895=4,45; y = vh2 = 0,7425=18,5.
Подставим
полученные значения в уравнение прямой
линии регрессии
=3,03х
+82,48 – искомое уравнение.
Ответ: =3,03х +82,48.
Задачи для самостоятельного решения:
Найти по данной корреляционной таблице:
а) выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х;
б)
выборочное корреляционное отношение
YX
2.1)
Y |
X |
ny |
|||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
||
-2 |
2 |
3 |
- |
- |
- |
- |
5 |
-1 |
- |
7 |
3 |
- |
- |
- |
10 |
0 |
- |
- |
2 |
50 |
2 |
- |
54 |
1 |
- |
- |
1 |
10 |
6 |
- |
17 |
2 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
3 |
14 |
nx |
2 |
10 |
6 |
64 |
15 |
3 |
n=100 |
2.2)
Y |
X |
ny |
|||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
||
-2 |
1 |
4 |
- |
- |
- |
- |
5 |
-1 |
- |
7 |
3 |
- |
- |
- |
10 |
0 |
- |
- |
2 |
50 |
2 |
- |
54 |
1 |
- |
- |
1 |
10 |
6 |
- |
17 |
2 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
3 |
14 |
nx |
1 |
11 |
6 |
64 |
15 |
3 |
n=100 |
2.3)
Y |
X |
ny |
|||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
||
-2 |
3 |
5 |
- |
- |
- |
- |
8 |
-1 |
- |
4 |
4 |
- |
- |
- |
8 |
0 |
- |
- |
7 |
35 |
8 |
- |
50 |
1 |
- |
- |
2 |
10 |
8 |
- |
20 |
2 |
- |
- |
- |
5 |
6 |
3 |
14 |
nx |
3 |
9 |
13 |
50 |
22 |
3 |
n=100 |
2.4)
Y |
X |
ny |
|||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
||
-2 |
4 |
2 |
- |
- |
- |
- |
6 |
-1 |
- |
6 |
4 |
- |
- |
- |
10 |
0 |
- |
- |
6 |
45 |
2 |
- |
53 |
1 |
- |
- |
2 |
8 |
6 |
- |
16 |
2 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
4 |
15 |
nx |
4 |
8 |
12 |
57 |
15 |
4 |
n=100 |
2.5)
Y |
X |
ny |
|||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
||
-2 |
1 |
5 |
- |
- |
- |
- |
6 |
-1 |
- |
5 |
3 |
- |
- |
- |
8 |
0 |
- |
- |
9 |
40 |
2 |
- |
51 |
1 |
- |
- |
4 |
11 |
6 |
- |
21 |
2 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
3 |
14 |
nx |
1 |
10 |
16 |
55 |
15 |
3 |
n=100 |