1.5.Законы и методы анализа цепей

1.5.1.Законы электротехники

Для расчета цепей недостаточно знать рассмотренные выше в п. 1.2 три уравнения элементов (1.5), (1.7), (1.11). В сложной цепи в общем случае токи и напряжения на элементах оказываются связанными друг с другом.

Важным является закон Ома записанный, например, в форме выражения (1.5), позволяющий находить связь напряжения и токов в простых ветвях.

Для описания взаимосвязи токов напряжений на разных ветвях используются уравнения соединений (законы Кирхгофа).

Первое уравнение соединений (первый закон Кирхгофа) устанавливает взаимосвязь токов в узле (рис. 1.23).

Рис. 1.23. Электрическое соединение – узел

В узле заряды не могут накапливаться или исчезать. Для узла выполняется закон сохранения заряда — сколько зарядов переносится к узлу втекающими токами, столько же зарядов выходит из узла. После дифференцирования по времени уравнений, описывающих заряды, получаем первый закон Кирхгофа (первое уравнение соединений): сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла. Для узла, объединяющего m ветвей, по которым протекают токи , используется следующая математическая запись первого закона Кирхгофа:

(1.18)

где втекающие токи берутся со знаком плюс, а вытекающие — со знаком минус или наоборот. Например, для узла, изображенного на рис. 1.23 получим:

Второе уравнение соединений (второй закон Кирхгофа) устанавливает взаимосвязь напряжений и ЭДС в контурах цепи. Рассмотрим прохождение положительного заряда по контуру (рис. 1.24), направление обхода которого указывается стрелкой.

Рис. 1.24. Электрическое соединение – контур

По закону сохранения энергии работа сторонних сил в этом контуре должна быть равна работе сил электрического поля. Продифференцировав уравнение, связывающее эти энергии (работы), по заряду, получим соотношение:

— второй закон Кирхгофа. Если стрелка напряжения или ЭДС противоположна направлению обхода, то эти ЭДС или напряжение должны записываться в формулу со знаком минус.

Обобщая полученное соотношение для сложного контура, содержащего произвольное число элементов, получим следующую формулировку второго закона Кирхгофа (второго уравнения соединения): в любом контуре цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений. Если стрелки ЭДС или напряжения не совпадают с направлением обхода, то в соответствующую сумму они записываются со знаком минус. Для контура, включающего р ЭДС и ветвей, используется следующая математическая запись второго закона Кирхгофа:

(1.19)

где при согласованных стрелках направления обхода и напряжения на ветви или ЭДС ставится плюс, а при несогласованных — минус.

Для расчета линейной электрической цепи любой конечной сложности достаточно использовать два уравнения соединений и рассмотренные в параграфе уравнения элементов (1.5), (1.7), (1.11).

Рассмотрим использование этих уравнений для описания процессов цепи, схема которой изображена на рис. 1.24 записывая для контура этой цепи второй закон Кирхгофа: и учитывая уравнения элементов, получим интегро-дифференциальное уравнение цепи . Дифференцируя это выражение, получим дифференциальное уравнение электрической цепи для одной из неизвестных величин — тока цепи:

Коэффициенты этого уравнения являются константами и определяются параметрами элементов схемы. В правой части таких уравнений записываются члены, содержащие заданные токи или напряжения. Полученное выражение называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением цепи. Легко убедиться в том, что процессы в любой другой линейной электрической цепи также описываются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями. Общие методы решения этих уравнений излагаются в курсе математического анализа. Отдельные, наиболее часто используемые в электротехнике и радиоэлектронике методы решения этих уравнений рассматриваются ниже.

Если в цепи имеется хотя бы один нелинейный элемент, то цепь становится нелинейной. Нелинейная цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением. Для параметрической цепи, содержащей, по крайней мере, один параметрический элемент, получим параметрическое дифференциальное уравнение.

Для линейной электрической цепи справедлив принцип суперпозиции (наложения). Поясним этот принцип на примере цепи, схема которой изображена на рис. 1.25.

Рис. 1.25. Схема с двумя источниками ЭДС

В цепи, включающей последовательно соединенные резистор, катушку и конденсатор, действуют два сигнала: и . В контуре цепи как реакция на эти два сигнала возникает результирующий ток .

Пусть на цепь воздействует только один сигнал (сигнал равен нулю). Дифференциальное уравнение для тока, возникающего под действием ЭДС имеет вид:

Пусть теперь напряжение равно нулю и на цепь воздействует сигнал Дифференциальное уравнение для тока возникающего под действием ЭДС , имеет аналогичный вид:

Суммируя левые и правые части этих уравнений и используя известные свойства интеграла и производной — интеграл или производная от суммы функций равны сумме интегралов или производных от каждой из функций, окончательно получим:

Из анализа формулы следует, что воздействие суммы сигналов вызывает появление реакции — результирующего тока , равно сумме токов возникающих от каждого из сигналов в отдельности. Обобщая полученные результаты на сложные линейные цепи при воздействии нескольких источников, получим принцип суперпозиции: реакция на сумму воздействий в линейной цепи равна алгебраической сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Заметим, что для нелинейных цепей принцип суперпозиции несправедлив.

Принцип суперпозиции часто используется для расчета цепей, содержащих несколько источников тока и (или) напряжения, например, в радиотехнике процесс модуляции. Неиспользуемые источники при расчете реакции на одно воздействие исключаются следующим образом: источники напряжения — методом замыкания выводов (короткого замыкания), а источники тока методом разрыва ветви (холостого хода).

Этот принцип суперпозиции широко используется на практике инженерами. Например, при расчете усилительного каскада (рис. 1.26) отдельно анализируют работу каскада на транзисторе в режиме постоянного тока (статический режим), который определяется напряжениями смещения и питания , и отдельно рассчитывают напряжения и токи, обусловленные воздействием на усилитель входного сигнала (динамический режим). Полный анализ состоит в "наложении" указанных режимов.

Рис. 1.26. Транзисторный усилительный каскад

Наряду с принципом суперпозиции при анализе и расчете ЭЦ полезны теорема (взаимности) и теорема (принцип) компенсации. Не приводя доказательств, запишем только формулировки этих теорем.

Теорема обратимости (взаимности): если ЭДС, включенная на входе линейной цепи, вызывает некоторый ток на выходе, то та же ЭДС, перенесенная на выход, вызывает на входе цепи ток такой же величины и фазы. Эта теорема справедлива только для обратимых электрических цепей, матрицы сопротивлений или проводимостей которых симметричны относительно главной диагонали. Доказательство этой теоремы можно легко провести самостоятельно. Для этого необходимо записать контурные уравнения для двух цепей. В первой цепи источник напряжения включается во входной контур, а во второй цепи этот источник перенесен в контур на выходе цепи. Решая контурные уравнения, находим и сравниваем контурные токи во входном и выходном контурах.

К обратимым цепям относятся пассивные электрические цепи, не содержащие источников. Простой пример цепи, где действует теорема обратимости, — двухпроводная (телефонная) линия связи с двумя абонентами. Очевидно, что такая линия передачи информации обратима и абонентов в этой линии можно поменять местами.

Теорема компенсаций токи в электрической цепи не изменятся, если любой участок цепи заменить "компенсационной" ЭДС, равной по величине напряжению на данном участке и направленной навстречу этому напряжению. Доказательство этой теоремы следует из рассмотрения уравнений цепи, записанных с использованием второго закона Кирхгофа. Напряжения в этих уравнениях, если их перенести в другую часть равенства, можно рассматривать как ЭДС. Отметим, что эти компенсационные ЭДС, включаемые в цепь, будут зависимыми источниками напряжения.