2.5.4. Розв’язання рівняння арбітражу

Розгляньмо умову відсутності арбітражу (2.5.2) з формального погляду, тобто як рівняння, розв’язки котрого потрібно відшукати. Нехай ставка дохідності й купонний дохід є відомими функціями від часу, і рівняння (2.5.2) записане у вигляді:

(2.5.3)

Загальний розв’язок звичайного неоднорідного диференційного рівняння першого порядку (2.5.3) можна відшукати, зокрема, методом варіації довільної константи у вигляді

(2.5.4)

де А(t) — невідома постійна, що є функцією часу, а

Диференціюючи (2.5.4) та підставляючи результати у (2.5.3), знайдемо за заданих поточних умов V(0) = V₀ загальний розв’язок рівняння арбітражу у вигляді:

. (2.5.5)

Відшуканий розв’язок є ніби «поглядом у майбутнє»: вартість активу в будь-який момент майбутнього визначається як зміна початкових умов (початкової вартості активу) під впливом ставки відсотка й купонних сплат. Економічний сенс розв’язку є досить прозорим: у майбутньому вартість активу зростає відповідно до ставки відсотка, а обсяги купонних сплат майбутню вартість активу зменшують.

Зазначимо, що для багатьох економічних процесів зручніше припустити відомими значення процесу не в початковий момент часу, а в кінцевий t = T.

Вартість активу може бути заданою умовами контракту на деякий кінцевий момент часу в майбутньому, наприклад, як вартість боргу (сума, що взята в борг разом з відсотками) V(T) = V_T. У цьому випадку розв’язок (2.5.3) відшукують немовби з кінця, як «погляд у минуле», за відомого кінцевого значення процесу. Підстановкою t¢ = T – t рівняння арбітражу зводиться до вигляду:

(2.5.6)

і означає, що протягом нескінченно малого періоду часу dt вартість боргу, котра в кінці нього дорівнює величині V_t, зменшується на величину r(t¢)V(t¢) dt¢ за відсутності арбітражного прибутку. Розв’язок (16.6) відшукується аналогічним способом варіації довільної змінної, який приводить до знаходження функції

(2.5.7)

Зокрема, за постійних значень купонного доходу C(t¢) = C і ставки відсотка r(t¢) = r отримаємо

Розв’язок (2.5.7) показує, що поточна ринкова вартість боргу являє собою дисконтовану за ставкою відсотка величину вартості боргу, скориговану на величину дисконтованої вартості купонних сплат.

2.5.5. Рівняння динаміки суспільного боргу

Ринок державних цінних паперів в умовах перехідної економіки суттєво відрізняється від відповідного сегмента фінансового ринку в країнах вільної конкуренції.

Зазначимо, що в загальному випадку спроможність держави щодо реалізації свого права монополіста в умовах розвинутого фінансового ринку суттєво обмежена кількома чинниками.

По-перше, частка державного сегмента ринку боргів хоч і суттєва, але порівнянна з часткою приватних боргів.

По-друге, місткість ринку акцій приблизно дорівнює місткості ринку сукупних боргів, і ясно, що держава не може безпосередньо впливати на формування дохідності акцій.

По-третє, практично неможливо ізолювати зовнішню компоненту боргів, оскільки на сучасному дерегульованому фінансовому ринку резиденти й нерезиденти діють практично в рівних умовах. Отже, чинники дохідності формуються й визначаються ринком спільно, а відмінності в доходах залежать лише від відмінності між конкретними інструментами, особливостей оподаткування й ринкової вартості ризику.

Зазначимо, що різка асиметрія фінансового ринку в перехідний період полягає у практично повній відсутності ринку приватних боргів і закладених, а також слаборозвинутих ринках кредитів і акцій та у суттєвих обмеженнях на діяльність нерезидентів. Домінування сегмента державних цінних паперів має своїм наслідком яскраво виражений ринок продавця, в ролі котрого уряд диктує ціну чи дохідність облігацій, визначаючи не лише пропозицію, а й впливаючи на формування попиту на борги.

Зазначені особливості фінансового ринку в перехідний період покладені в підґрунтя моделі поведінки уряду й приватних інвесторів на ринку державних боргів.

Розгляньмо спрощену детерміновану ситуацію фінансування державного боргу та бюджетного дефіциту. Не розрізнятимемо також внутрішні та зовнішні борги, не розглядатимемо й існування приватного боргу. Обсяг державного боргу розглядатимемо як облігації, що гарантують отримання (наближено) майже безризикового доходу протягом теоретично нескінченного періоду часу. Попит на борги визначається (наближено) лише залежно від їхньої дохідності, ігнорується можливість використання короткотермінових боргів як субститутів грошей.

Розглянуте в попередніх розділах рівняння зростання суспільного боргу чи приватного багатства має в номінальних термінах вигляд:

(2.5.8)

де — обсяг сеньйоражу чи емісії грошей у номінальному вираженні; — обсяг додаткового розміщення на вільному ринку державних боргових зобов’язань; P(G – T) — дефіцит державного бюджету в номінальному вираженні; G — бюджетні витрати в реальному вираженні; T — реальні податки, що не змінюють обсягів випуску; RB — обсяг обслуговування державного боргу за ставкою номінального відсотка R > 0.

Якщо ввести змінні щодо реальних значень грошових балансів і реальної вартості боргу , вважаючи їх диференційованими функціями часу, то рівняння (2.5.8) перепишеться як

(2.5.9)

де — обсяг реального сеньйоражу; r = R – p — реальна безризикова ставка відсотка за державними борговими зобов’язаннями; — темпи фактичної інфляції чи інфляційних очікувань.

З одного боку, держава постає як монопольний емітент боргових зобов’язань — грошей (боргів з від’ємною нормою реальної дохідності, що дорівнює темпу інфляції) й облігацій (боргів у власному значенні, з додатною нормою реальної дохідності (хоча в окремі періоди реальна дохідність може набувати від’ємних значень). Ці останні ситуації тут не розглядаються. З іншого боку, сукупність великої кількості приватних інвесторів конкурує на фінансовому ринку, формуючи попит на державний борг.

Приватні інвестори формують свої портфелі з реальних грошових балансів і негрошових активів, у даному випадку державних облігацій. Однак простий портфельний підхід непридатний до даної ситуації, оскільки абсолютно нераціонально набувати активи з від’ємною дохідністю. Отже, необхідно пояснити проблему «ліквідності», наприклад, через включення змінної грошей у функцію корисності типового інвестора.