1.2. Используемые результаты

Теорема 1.2.1 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы, то есть – конечная группа, , то .

Следствие 1.2.1. Пусть - конечная группа и .

Теорема 1.2.2 (Теорема о мощности произведения подгрупп). Пусть – конечная группа, Тогда .

Теорема 1.2.3 (Свойства нормальных подгрупп).

Пусть – группа, тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если , , то и , то есть пересечение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа и произведение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа;

2. Если , , то , то есть пересечение нормальной подгруппы с произвольной нормальна в произвольной;

3. Если , и , то , то есть нормальная подгруппа является нормальной в любой подгруппе ее содержащей.

Теорема 1.2.4 (О факторгруппе). Пусть – группа, . Совокупность (читается по ) всех смежных классов группы по подгруппе является мультипликативной группой относительно умножения, заданного по правилу: выполняется (1), которая называется факторгруппой группы по подгруппе .

Замечание 1.2.1. .

Теорема 1.2.5. Пусть – группа, . Тогда .

Теорема 1.2.6 (О строении подгруппы Фраттини). Подгруппа Фраттини группы состоит из всех необразующих элементов группы .

Замечание 1.2.2. Если , то .

Теорема 1.2.7 (О соответствии). Пусть – группа, – совокупность всех подгрупп группы , содержащих , - совокупность всех подгрупп группы . Тогда между множествами и существует взаимно-однозначное соответствие (биекция), причём .

Теорема 1.2.8 (О соответствии). Пусть . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Теорема 1.2.9. Пусть внутреннее прямое произведение.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Подгруппы и группы перестановочны поэлементно, то есть

2. Каждый элемент допускает единственное представление в виде

, где

Теорема 1.2.10 (Ремака). Если группа содержит нормальные подгруппы и , то группа изоморфна подпрямому произведению групп

Лемма 1.2.1. Пусть – группа. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2)

Теорема 1.2.11 (Силова). 1. Пусть – группа, Тогда в существуют силовские р-подгруппы.

2. Тогда всякая р-подгруппа группы содержится в некоторой силовской р-подгруппе группы

3. Любые 2 силовские p-подгруппы группы сопряжены в

4. Число силовских р-подгрупп группы сравнимо с единицей по модулю и делит

Лемма 1.2.2 (Свойства примарных групп). Пусть – примарная группа.

1. Центр неединичной примарной группы отличен от 1, т.е. если то

2. Если то , то есть каждая собственная подгруппа примарной группы собственно содержится в своем нормализаторе.

3. Если , то и – простое число, то есть все максимальные подгруппы примарной группы нормальны в и имеют простые индексы.

4. Если , то .

5. Если , – простое число и

Теорема 1.2.12. Пусть Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2)

3)

Лемма 1.2.3. Пусть Если – абелева группа и , такая что .

Лемма 1.2.4 (Фраттини). Пусть

Лемма 1.2.5. Пусть и

Лемма 1.2.6. Пусть Тогда .

Лемма 1.2.7. Пусть – группа, . Тогда .