Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай функція інтегрована на відрізку .

Теорема .Якщо функція неперервна на відрізку і — яка-небудь її первісна, то має місце формула .

Отриману рівність називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Якщо ввести позначення , то формулу Ньютона-Лейбніца можна переписати так:

.

Формула Ньютона–Лейбница дає зручний спосіб обчислення визначе-ного інтеграла. Щоб обчислити визначений інтеграл від неперервної функції на відрізку , треба знайти її первісну функцію і узяти різницю значень цієї первісної на кінцях відрізка .

Приклади.

1. .

2. , де при і при .

Тут функція має розрив у точці , але на кожному з проміжків і вона неперервна. Скористаємося з адитивності інтеграла:

3)

.

4) ○ .

Обчислення визначеного інтеграла. Інтегрування підстановкою (заміни змінної).

Нехай для обчислення інтеграла від неперервної функції зроблена підстановка .

Теорема. Якщо:

1. Функція і її похідна неперервні при ;

2. Множиною значень функції при є відрізок ;

3. і ,

то .

Доведення: Нехай є первісною для на відрізку . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца . Оскільки , то є первісною для функції . Тому по формулі Ньютона-Лейбніца маємо ■

Формула називається формулою заміни змінної в визначеному інтегралі.

Відзначимо, що:

1. при обчисленні визначеного інтеграла методом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно;

2. часто замість підстановки застосовують підстановку ;

3. не слід забувати міняти межі інтегрування при заміні змінних!

Приклад. Обчислити .

○ Покладемо , тоді .

Якщо , то ; якщо , то .

Тому

.●

Обчислення визначеного інтеграла. Інтегрування частинами.

Теорема . Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то має місце формула .

Доведення:

На відрізку має місце рівність . Отже, функція є первісною для неперервної функції . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца маємо: . Отже, .■

Формула називається формулою інтегрування по частинах для визначеного інтеграла.

Приклад. Обчислити .

Розв’язання:

Покладемо . Використовуючи формулу інтегрування по частинах, отримаємо

Приклад. Обчислити інтеграл . ○

Розв’язання: Інтегруємо по частинах. Покладемо . Тому . ●

Інтегрування парних і непарних функцій в симетричних межах.

Нехай функція неперервна на відрізку , симетричному відносно точки . Доведемо, що

Розіб'ємо відрізок інтегрування на частини і . Тоді за властивістю адитивності .

В першому інтегралі зробимо підстановку . Тоді

(згідно з властивістю: «визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування»). Повертаючись до рівності (2), отримаємо

.

Якщо парна (( ), то ; якщо функція непарна (( ), то .

Завдяки доведеній формулі можна, наприклад, відразу, не проводячи обчислень, сказати, що

, .