? 1.3 Варіанти індивідуального завдання 1
Визначити тип диференціального рівняння, привести до канонічної форми та зробити подальше спрощення канонічного виду.
1.
а)
;
б)
;
в)
.
2.
а)
;
б)
;
в)
.
3.
а)
;
б)
;
в)
.
4.
а)
;
б)
;
в)
.
5.
а)
;
б)
;
в)
.
6.
а)
;
б)
;
в)
.
7.
а)
;
б)
;
в)
.
8.
а)
;
б)
;
в)
.
9.
а)
;
б)
;
в)
.
10.
а)
;
б)
;
в)
.
11.
а)
;
б)
;
в)
.
12.
а)
;
б)
;
в)
.
13.
а)
;
б)
;
в)
.
14.
а)
;
б)
;
в)
.
15.
а)
;
б)
;
в)
.
16.
а)
;
б)
;
в)
.
17.
а)
;
б)
;
в)
.
18.
а)
;
б)
;
в)
.
19.
а)
;
б)
;
в)
.
20.
а)
;
б)
;
в)
.
Тема 2. Постановка та розв’язок однорідних крайових задач математичної фізики
2.1 Основні поняття й визначення щодо розв’язку крайових задач математичної фізики
Під крайовою задачею в рівняннях математичної фізики розуміють сукупність диференціального рівняння в частинних похідних, граничних і початкових умов до нього.
Початкові умови описують стан фізичної системи в початковий момент часу. Граничні умови описують її поведінку на границях системи. Кількість початкових і граничних умов для рівнянь у частинних похідних визначається порядком похідних від невідомої функції відповідно за часовою й просторовими змінними.
Крайова задача
називається однорідною, якщо містить
однорідне диференціальне рівняння й
однорідні граничні умови (їм повинен
задовольняти тривіальний розв’язок
).
У протилежному випадку крайова задача
є неоднорідною.
У випадку однорідної крайової задачі використовується метод поділу змінних — метод Фур'є.
У випадку, коли граничні умови крайової задачі неоднорідні, рішення подається у вигляді суми двох функцій, одна з яких задовольняє неоднорідні граничні умови; інша задовольняє новій неоднорідній крайовій задачі з однорідними граничними умовами й у загальному випадку неоднорідному рівнянню, що вирішується методом представлення розв'язку у вигляді нескінченного ряду за власними функціями відповідної однорідної крайової задачі.
2.2 Рівняння лінійної теплопровідності
Розглянемо металевий
стрижень, бічна поверхня якого
теплоізольована. У задачі лінійної
теплопровідності стрижень передбачається
настільки тонким, що в кожний момент
часу температура всіх точок поперечного
перетину стрижня однакова. Якщо прийняти
вісь стрижня за вісь абсцис, то температура
буде
функцією координати
і часу
.
Отримання диференціального рівняння теплопровідності засноване на таких фізичних передумовах.
Кількість тепла,
що необхідно надати однорідному тілу,
щоб підвищити його температуру на
,
дорівнює:
, (2.2.1)
де
— об'єм тіла,
— його щільність,
— питома теплоємність.
Кількість тепла,
що протікає через поперечний перетин
стрижня за момент часу
(тепловий потік), пропорційна площі
перетину, швидкості зміни температури
в напрямку, перпендикулярному до перетину
та проміжку часу
,
тобто дорівнює:
, (2.2.2)
де
— площа поперечного перетину,
— коефіцієнт теплопровідності,
який ми вважатимемо постійним (це припущення справджується, якщо стрижень однорідний і температура змінюється в невеликих межах).
Відокремимо
ділянку стрижня, обмежену поперечними
перетинами з абсцисами
і
,
і складемо для неї рівняння теплового
балансу. За формулою (2.2.2) кількість
тепла, що входить через поперечний
перетин з абсцисою
за проміжок часу
,
дорівнює
.
Якщо відкинути нескінченно малі розміри
вищих порядків, то значення частинної
похідної за
у точці
дорівнює:
(в останньому рівнянні при перетвореннях
застосована теорема Лагранжа). Тому
розмір теплового потоку, що виходить
через перетин
,
дорівнює
.
Узявши різницю величин вхідних і вихідних
теплових потоків, ми одержимо кількість
тепла
,
що надійшло до обраної ділянки стрижня
за час
:
З іншого боку, за
цей же проміжок часу температура
змінилася на величину
.
Тому за формулою (2.2.1) кількість тепла
дорівнює:
,
тут
.
Прирівнюючи отримані вирази для , одержуємо основне рівняння теплопровідності для однорідного стрижня без теплових джерел:
, (2.2.3)
де
— коефіцієнт температуропровідності.
Рівняння (2.2.3.) є однорідним і лінійним.
Припустимо тепер
додатково, що в деяких ділянках стрижня
може виникати або поглинатися тепло.
Як кажуть, усередині стрижня є теплові
джерела. Виділення (або поглинання)
тепла зручно характеризувати за допомогою
щільності теплових джерел. Під щільністю
теплових джерел розуміють функцію
таку, що на малій ділянці стрижня
за малий проміжок часу
виділяється кількість тепла, що дорівнює:
. (2.2.4)
При укладанні теплового балансу необхідно врахувати тепло, що виникає в розглянутій ділянці стрижня. Остаточно отримуємо рівняння:
(2.2.5)
де
.
Рівняння (2.2.5), отримане в припущенні, що всередині стрижня є теплові джерела, на відміну від рівняння (2.2.3), є неоднорідним. Наведені рівняння належать до параболічного типу.