Линейные разностные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

(17)

и соответствующее ему однородное уравнение

(18)

коэффициенты которого постоянные числа.

Как и в случае уравнения второго порядка, будем искать его решения в виде и придём к соответствующему характеристическому уравнению

. (19)

Если это уравнение имеет различных действительных корней то общее решение (18) имеет вид:

+ ,

произвольные постоянные.

В общем случае, когда уравнение имеет кратные корни, в том числе комплексные, действительному корню кратности соответствует набор линейно независимых решений (18) : , а паре комплексно-сопряжённых корней , каждый из которых имеет кратность соответствуют линейно-независимые решения , где

Задачи. Решить разностные уравнения:

1. 

2. 

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Определение. Уравнение (17) называется глобально асимптотически устойчивым, если любое решение соответствующего уравнения (18) стремится к 0 при .

Теорема. Уравнение (17) является глобально асимптотически устойчивым, если модуль любого корня уравнения (19) меньше 1.

Теорема. Модуль любого корня уравнения (19) меньше 1 тогда и только тогда, когда

,

,

…

.

СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему разностных уравнений нормального вида

(20)

. Если заданы значения то уравнения (20) позволяют последовательно найти и так далее, для любого .

В ряде случаев удаётся получить явную формулу для решений такой системы.

Пример. Решить систему

Решение. Решая первое уравнение, находим , тогда из второго уравнения получаем . Заменив на в первом уравнении исходной системы и используя предыдущее равенство, получаем уравнение

Корни его характеристического уравнения равны . Таким образом, , а значит .

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему линейных уравнений

(21)

и положим

, , .

Тогда система (21)принимает вид

. (22)

Метод, использованный в примере предыдущего параграфа, позволяет свести эту систему к разностному уравнению го порядка.

Рассмотрим важный случай, когда коэффициенты системы- постоянные числа, при этом система (22) перейдёт в

(23)

Подставляя в (21) последовательно находим

…,

. (24)

При условии для всех получаем систему

(25)

которая имеет решение

. (26)

Задачи. Решить систему разностных уравнений

1. ,

2. 

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Определение. Система(23) называется глобально асимптотически устойчивой, если при любом выборе начальных данных решение (26) соответствующей системы однородной стремится к нулевому вектору при .

Теорема. Система (23) глобально асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы имеют модули, меньшие 1.

Предположим, что система (23) глобально асимптотически устойчива. Пусть, кроме того, вектор постоянный. Тогда, по формуле (24) получаем, обозначая единичную матрицу через ,

) .(27)

Отметим, что

( ) = , (28)

а так как все собственные числа матрицы имеют модули, меньшие 1, число 1

не является собственным числом матрицы и, поэтому, и

у матрицы есть обратная матрица . Тогда из (28) получаем

( ) = (29)

и, поскольку все собственные числа матрицы имеют модули, меньшие 1, матрица стремится к нулевой матрице при ,

, (30)

Поэтому из (29) следует, что

( ) . (31)

Из (27), (30),(31) следует

Теорема. Система (23) глобально асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы имеют модули, меньшие 1. При этом любое решение этой системы стремится к

.

Для того, чтобы убедиться, что все собственные числа матрицы имеют модули, меньшие 1, можно использовать такое утверждение.

Теорема. Пусть произвольная матрица размера и пусть

.

Тогда все собственные числа матрицы имеют модули, меньшие 1.