2.7 Вращение тела вокруг неподвижной оси

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки вращающегося тела описывают окружности вокруг неподвижной оси в плоскостях, перпендикулярных к оси, с центром на этой оси.

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг оси Oz.

Плоскость вращающегося тела, проходящая через ось 0z и совпадающая в начальный момент времени с плоскостью чертежа I, займет через промежуток времени t положение II и оба отмеченных положения плоскости составят угол  .

Угол  называется углом поворота тела. Угол поворота  измеряется в радианах и соответствует определенному положению тела. Для определения положения вращающегося тела в каждый данный момент служит уравнение, выражающее угол поворота как функцию от времени:

Изменение угла поворота определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью вращающегося тела называется отношение приращения угла поворота   ко времени t, в течение которого это приращение произошло:

Истинная угловая скорость вращательного движения тела равна производной углового перемещения по времени:

Угловая скорость   измеряется в радианах в секунду, т. е. рад/с. Скорость при вращательном движении тела определяется частотой вращения n, об/мин. Связь между угловой скоростью и частотой вращения можно установить следующим образом. За один оборот вращающегося тела угол поворота составит 2П рад. За n оборотов в 1 мин угол поворота составит 2Пn.

Соответственно угловая скорость определится путем деления угла поворота за n оборотов на 60 с

Например, частота вращения вала электродвигателя n = 1400 об/мин, тогда угловая скорость:

Когда угловая скорость тела постоянна, вращение — равномерно. Угол поворота в этом случае определяется:

Когда угловая скорость переменна, тело вращается неравномерно.

Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени:

Угловое ускорение измеряется в радианах, деленных на секунду в квадрате, т. е. рад/с^2.

При вращении тела вокруг оси с постоянным угловым ускорением происходит равнопеременное вращение. Уравнения равнопеременного вращения аналогичны уравнениям равнопеременного прямолинейного движения точки, только вместо линейных величин в них входят угловые величины. Выводятся эти уравнения тем же путем:

где  — начальная угловая скорость (при t = 0).

Угловое ускорение   — величина алгебраическая: при равнопеременном ускоренном вращении его считают положительным, поэтому абсолютное значение угловой скорости будет все время возрастать. При равномерно-замедленном движении угловое ускорение считают отрицательным, поэтому абсолютное значение угловой скорости уменьшается.

2.8 Скорости и ускорения точек вращающегося тела

 

Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис.а), радиусы которых r равны расстояниям точек от оси вращения.

Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ1. В данном случае путь ds можно определить как произведение угла поворота на радиус окружности, т. е.

Линейная скорость определится как производная пути по времени:

Подставив вместо ds его значение по  , получим:

Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим:

Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения:

Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности:

Подставив в выражение нормального ускорения значение скорости v = ?r, получим:

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях  (рис.б).

Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим:

Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу ?, образованному этим вектором с радиусом: