5 Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера

Найдем значения контурных токов I₁, I₂, I₃. Они определяются по формуле Крамера.

I=M_n/N, n=1,2,…l, где N- полный определитель матрицы, а M_n- определитель, получающийся из D при замене его элементов каждого столбца соответствующими левыми частями.

Определитель матрицы имеет вид:

Подсчитаем определитель, получающийся из D при замене его элементов каждого столбца соответствующими левыми частями:

Посчитаем контурные токи:

Ток контура I₁=M1/N

Ток контура I₂=M2/N

Ток контура I₃=M3/N

6 Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы.

Определим эти же токи методом обращения матрицы, принимая во внимание выражение

где Z^-1_n- обратная матрица комплексных сопротивлений схемы, состоящая из коэффициентов

Итак, мы вычислили контурные токи другим методом, для проверки смоделируем цепь в EWB-5.12 (рисунок 11).

Рисунок 11- Моделирование цепи

То есть значения контурных токов, посчитанные двумя разными способами, совпадают. Что свидетельствует о правильности вычислений.

7 Определение выражения для комплексного коэффициента передачи

Получение выражения для комплексного коэффициента передачи К схемы производится по формуле

Используя метод контурных токов, определим U_вых

Рисунок 12-Схема цепи для определения U_вых

Для всех вариантов значение R=1000 Ом, а C=1 пФ.

Используя принятые применительно к этому методу правила, получим систему уравнений:

(R+Z)I₁-ZI₂=E₁

-ZI₁+(2Z+R)I₂-ZI₃=0

-ZI₂+(Z+2R)I₃=0

Определим из первого уравнения системы I₁:

I₁=(E₁+ZI₂)/(R+Z)

Подставим полученное выражение во второе уравнение и найдём I₂:

(-ZE₁/(R+Z))+(ZI₁/(R+Z))+(2Z+R)I₂-ZI₃=0

I₂((Z²+2ZR+R²+2Z²+RZ)/(R+Z))=ZI₃+(ZE₁/(R+Z))

I₂=(ZI₃R+Z²I₃+ZE₁)/(3Z³+3ZR+R²)

Подставим I₂ в третье уравнение и найдём I₃:

(-Z²I₃R-Z³I₃)/(3Z³+3ZR+R²)-(Z²E₁/(3Z³+3ZR+R²))+(Z+2R)I₃=0

I₃(((-Z²R-Z³)/(3Z³+3ZR+R²))+(Z+2R))=Z²E₁/(3Z³+3ZR+R²)

I₃=Z²E₁/(ZR³+7ZR²+4RZ²)

Напряжение на выходе цепи U_вых будет равно произведению I₃ на R:

U_вых= I₃×R= Z2RE1/(ZR³+7ZR²+4RZ²)

Комплексный коэффициент равен:

K= U_вых/E₁= Z²R/(ZR³+7ZR²+4RZ²)

8 Построение графиков ачх и фчх с определением их характеристик

Выражение для АЧХ:

|K(f)|=| Z(f)²R/(Z(f)R³+7Z(f)R²+4RZ(f)²)|

Далее получим выражение для ФЧХ:

Arg(K(f))×(180/π)

Осуществим построение графиков в программе Mathcad:

Рисунок 13 - Амплитудно-частотная характеристика

Рисунок 14 - Фазо-частотная характеристика

Проверку правильности характеристик определим с помощью программы EWB-5.12 (рисунок 15).

Рисунок 15 – Моделирование цепи

Коэффициент прямоугольности равен:

K_п=(f_max-f_min)/f_0,1=(1000-0)/225000=0,004

Полоса пропускания частот

П_0,707=f_гр2-f_гр1=1000 Гц=1кГц

Вывод: по виду АЧХ относим цепь к фильтру низких частот, так как плохо пропускает колебания с высокой частотой.

Список используемой литературы.

1 Матвеев. Б.В. «Методические указания». №52-2009. ГОУВПО ВГТУ Воронеж 2009.

2 Матвеев Б. В. Общая электротехника и электроника: Учеб. пособие. Ч.1: Линейные электрические цепи. Воронеж ВГТУ 2006. 241с.

3. Новожилов О.П. Электротехника и электроника: учебник. Гардарики, 2008. – 653с.

20