2.3 Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.

Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается нечасто, так как эти «недостатки» не влияют на формирование дедуктивной схемы в евклидовой геометрии. Можно сказать, что эти «недостатки» составляют суть дедуктивной схемы формирования евклидовой геометрии.

Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее приходится доказывать на основе уже сформулированных ранее аксиом, см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16, требует доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще немало замечаний, которые, вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих требований.

Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гильберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека, а к концу ХХ века появились компьютерные модели, где размерность геометрического пространства определялась пиксельной размерностью мониторов персональных компьютеров (об этом будет сказано при построении векторных структур).

2.4 Структурный характер аксиоматики д.Гильберта

Аксиоматический подход, предложенный Д.Гильбертом, представил математическому миру совершенно новую дедуктивную схему систематизации геометрических знаний в виде геометрического языка. Выясним суть этой схемы. При построении аксиоматики выделяются основополагающие объекты Q( теории (в геометрии это точки, прямые и плоскости), которые изначально не определяются и имеют эмпирическое (опытное) происхождение, а строительная роль выделенных объектов раскрывается аксиоматикой. Каким образом? Задаётся основной набор отношений (они перечислены в предыдущем пункте) P( в которые вступают объекты Q( и формируют как новые отношения, так и новые объекты. Отношения P между объектами Q регулируются аксиомами T ( , …, ). В течение нескольких десятилетий, после появления аксиоматики Д.Гильберта, по этой схеме были построены основные математические языки, которые стали называться системами или структурами. Именно по такой схеме мы построили системы натуральных, рациональных и действительных чисел. И по этой же схеме продолжим построение следующих математических языков.