Контрольная работа 4

1. Найти неопределенные интегралы (в заданиях а), б), в) правильность результатов проверить дифференцированием).

1. 

Проверим полученный результат дифференцированием:

Поскольку в результате дифференцирования получили подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

2. 

Проверим полученный результат дифференцированием:

Поскольку в результате дифференцирования получили подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

3. 

Проверим полученный результат дифференцированием:

Поскольку в результате дифференцирования получили подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

4. 

5. 

6. 

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:

Выделим полный квадрат в знаменателе:

Сделаем замену , , тогда

12. Вычислить определенные интегралы

1. 

2. 

21. Вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив интервал интегрирования на 10 частей.

Решение:

Вычислим шаг интегрирования:

Для решения задачи заполним таблицу:

		,	, , …,	, , …,
0	0,60	0,7625
1	0,69		0,7157
2	0,78			0,6716
3	0,87		0,6307
4	0,96			0,5931
5	1,05		0,5586
6	1,14			0,5271
7	1,23		0,4984
8	1,32			0,4722
9	1,41		0,4483
10	1,50	0,4264
Сумма		1,1889	2,8517	2,2640

Тогда искомое значение интеграла определим следующим образом:

32. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями: , , .

Решение:

Построим заданные линии и определим фигуру, площадь которой требуется найти:

Тогда искомую площадь определим следующим образом:

(кв. ед.)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 5

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

1. 

– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

разделим переменные в данном уравнении:

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными:

– общий интеграл дифференциального уравнения

2. 

– уравнение в однородных функциях.

Сделаем замену: , тогда

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными:

– общий интеграл дифференциального урвнения

12. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

, ,

Решение:

Сделаем замену , тогда

– неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его методом Бернулли. Пусть , тогда

Подберем функции и так, чтобы

(*)

Решим первое уравнение системы (*):

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными:

Подставим полученное выражение для функции во второе уравнение системы (*):

Согласно начальным условиям, или

Тогда . Решим данное уравнение:

.

Согласно начальным условиям, или

.

Окончательно получим: .

21. Исследовать положительный числовой ряд на сходимость

Решение:

Для исследования ряда на сходимость проверим выполнение необходимого признака сходимости знакоположительных рядов:

Поскольку необходимый признак не выполнен, то ряд расходится

32. Найти область сходимости степенного ряда

(1)

Решение:

Найдем радиус сходимости данного ряда:

Таким образом, ряд (1) сходится при .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

: (2)

Для исследования ряда (2) на сходимость применим предельный признак сравнения и сравним его со сходящимся рядом (3):

Поскольку или , то ряды (2) и (3) ведут себя одинаково, т.е. ряд (2) сходится.

: (4)

Для исследования ряда (4) на сходимость проверим выполнение требований признака Лейбница:

требования признака Лейбница выполнены, ряд (4) сходится.

Рассмотрим ряд из модулей: . Данный ряд является сходящимся (см. ряд(2)). Поскольку ряд (4) и ряд из модулей сходятся, то ряд (4) сходится абсолютно.

Таким образом, окончательно получаем: ряд (1) сходится при , причем, при соответствующий знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

41. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд.

Решение:

Воспользуемся известным разложением

Полагая , получим:

Поскольку , а , то с точностью до 0,001 получим:

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 6

1. Дана функция . Показать, что

Решение:

Вычислим частную производную , считая при этом постоянной величиной:

Вычислим частную производную , считая при этом постоянной величиной:

Подставим найденные производные в указанное уравнение:

12. Дана функция и две точки и . Требуется:

1. вычислить значение функции в точке ;

2. вычислить приближенное значение функции в точке , исходя из значения функции в точке , заменив приращение функции при переходе от точки к точке дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом;

3. составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и проверить, лежит ли точка в этой плоскости.

, ,

Решение:

1. 

2. 

,

, ; ,

Тогда

Относительная погрешность

3. Составим уравнение касательной плоскости в точке :

– искомое уравнение касательной плоскости

Проверим, лежит ли в этой плоскости точка :

, следовательно, данная точка на принадлежит касательной плоскости.

21. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение:

Построим заданную область:

Найдем экстремумы функции. Для этого воспользуемся необходимым условием экстремума:

Вычислим частные производные данной функции:

Тогда

Проверим, наблюдается ли экстремум в точке . Для этого вычислим частные производные второго порядка:

Составим и вычислим определитель:

Поскольку , то в точке экстремума нет, поэтому из дальнейшего рассмотрения ее можно исключить.

Рассмотрим границу области.

На отрезке : , , поэтому функция принимает вид:

.

Вычислим производную данной функции: . Приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки: .

Нашли критическую точку .

На отрезке : , , поэтому функция принимает вид:

.

Вычислим производную данной функции: . Приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки: .

Нашли критическую точку .

На отрезке : , , поэтому функция принимает вид:

.

Вычислим производную данной функции: . Приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки: , тогда

Нашли критическую точку .

Вычислим значения функции в найденных критических точках и в угловых точках области:

Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее:

, .

32. Даны: функция , точка и вектор . Требуется найти:

1. в точке ;

2. производную в точке по направлению вектора .

, ,

Решение:

1. Найдем частные производные функции :

Вычислим значения производных в точке :

Тогда

2. Найдем направляющие косинусы вектора :

Найдем производную в точке по направлению вектора :

41. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной указанными линиями.

,

Решение:

Построим заданную область и определим пределы интегрирования:

Тогда