4. Означення перерізу на множині раціональних чисел. Приклади перерізів.

Означення. Перерізом впорядкованої множини М є представлення цієї множини у вигляді , де підмножини називають класами і вони мають властивості:

1. кожний клас непорожній;

2. кожний елемент множини М належить тільки одному з класів;

3. якщо , то .

Переріз позначають символом .

Наведемо приклади різних перетинів у множині раціональних чисел.

1 вид перетину: лівий клас має найбільше число, а правий – не має найменшого числа. Наприклад, .

2 вид перетину: лівий клас не має найбільшого числа, а правий – має найменше число. Наприклад,

3 вид перетину: лівий клас не має найбільшого числа, а правий – не має найменшого числа.

Доведемо, що такий переріз можливий на множині раціональних чисел.

До класу А віднесемо всі від’ємні раціональні числа, число 0 та всі додатні раціональні числа, квадрат яких менший 2, до класу В – всі інші раціональні числа. Тоді

1) кожен клас непорожній;

2) будь-яке число з класу А менше за будь-яке число з класу В.

Припустимо, що число є найбільшим в класі А. Розглянемо число і покажемо, що існує таке , що . Дійсно, . Нерівність справедлива для натуральних . Значить, при таких виконується і нерівність . Це означає, що число належить до класу А, але, оскільки воно більше числа , то не є найбільшим в класі А.

Припустимо тепер, що число найменше в класі В. Розглянемо число та покажемо, що існує таке, що . Оскільки , то нерівність справедлива для натуральних . Значить при таких виконується і нерівність . Це означає, що число належить до класу В, але, оскільки воно менше числа , то не є найменшим в класі В.

Висновок: побудований переріз є перерізом третього виду.

Тема 3. Огляд і порівняння різних аксіоматичних теорій дійсних чисел.

Мета. Розглянути різні підходи до означення дійсного числа, ознайомитись із властивістю неперервності множини дійсних чисел.

План.

1. Огляд побудов теорії дійсного числа. Перші наслідки з аксіом.

2. Побудова теорії дійсного числа за Дедекіндом.

3. Роль аксіоми неперервності в побудові математичного аналізу.

Ключові поняття: дійсне число, послідовність, система вкладених відрізків, переріз у множині дійсних чисел.

1. Огляд побудов теорії дійсного числа.

Теорію дійсних чисел теж можна будувати аксіоматично.

Означення. Сукупність елементів називається множиною дійсних чисел, якщо на ній уведені операції додавання і множення елементів, відношення порядку, які задовольняють системі аксіом (наприклад, із Додатку Ґ).

Історично відомі кілька аксіоматичних означень множини дійсних чисел. Принципово системи аксіом в цих означеннях відрізняються лише тим, як в них постулюється властивість неперервності множини дійсних чисел. У аксіоматичному підході неперервність дійсних чисел виділена явно в окрему аксіому.

Неперервність множини дійсних чисел в сенсі Кантора вводиться шляхом означення поняття вкладених відрізків і формулювання відповідної аксіоми 5.1 (Додаток Ґ).

Іншим варіантом формулювання неперервності множини дійсних чисел є аксіома про верхню грань: будь-яка обмежена зверху підмножина А множини має точну верхню грань [18].

Відмітимо, що прийняття одного з можливих підходів для формулювання аксіоми неперервності множини дійсних чисел вимагає, згідно із сутністю аксіоматичного методу, доведення тверджень, які є іншими формулюваннями цієї аксіоми.

З системи аксіом множини дійсних чисел із Додатку Ґ виведемо, наприклад, такі твердження.

Теорема. .

Дійсно, доведенням теореми є система перетворень , які можна виконати на основі аксіом 1.3, 1.4, 2.5, 1.4, 1.3.

Теорема. .

За аксіомою 1.4 . За попередньою теоремою і аксіомою 1.4 отримаємо , що і треба довести.

Теорема. Обернений до елемента дорівнює .

Знайдемо добуток , отже, , що і треба було довести.

Теорема. Якщо , то для будь-якого виконується нерівність .

Доведемо, що . Дійсно, за першою з доведених теорем . Враховуючи умову і аксіому 3.5, робимо висновок . Залишилось додати до обох частин цієї нерівності число , протилежне до числа , і застосувати аксіому 1.4.

Теорема. Для будь-яких існує ціле таке, що .

Дійсно, оскільки , то існує частка , і тоді за аксіомою Архімеда існує таке ціле , що , звідки за попередньою теоремою.