Алгоритм решения транспортной задачи

1. Исходные данные помещают в распределительной таблице.

2. Находят исходное опорное решение (первоначальный план перевозок).

3. Определяют потенциалы и поставщиков и потребителей из системы уравнений вида , составленных для занятых клеток таблицы, где – стоимости перевозок, стоящие в этих клетках.

4. Вычисляют оценки свободных переменных . Если все оценки , то полученный план перевозок оптимален.

5. Если же хотя бы одна из оценок , то строят цикл для клетки с большей положительной оценкой . Находят число , где – значения переменных, соответствующих клеткам цикла, помеченным знаком «–». Переходят к новому плану перевозок с помощью перемещения по циклу числа .

6. Новый план перевозок проверяют на оптимальность, т.е. повторяют действия, начиная с пункта 3. Процесс повторяют до тех пор, пока не будет получен план, для которого все оценки .

Наличие нулевых оценок свободных переменных оптимального плана перевозок является признаком того, что задача имеет альтернативный оптимум. В этом случае для построения общего оптимального плана перевозок нужно найти все опорные оптимальные планы перевозок. Для этого в построенном оптимальном плане последовательно вводят в базис каждую переменную с нулевой оценкой, т.е. для каждой свободной клетки с нулевой оценкой строят цикл и перемещают по нему соответствующее число .

В результате получают набор оптимальных решений , …, , где k – число нулевых оценок в оптимальном плане. Общее оптимальный план перевозок есть линейная комбинация этих планов:

; ; . (3.8.8)

Рассмотрим реализацию алгоритма на следующем примере.

Пример. Решить транспортную задачу.

Таблица 9 - Исходные данные транспортной задачи

Запасы груза	Потребности в грузе
	300	500	100	200
100	3	6	5	1
400	1	4	3	2
600	4	3	1	2

Этап 1. Проверим условие разрешимости транспортной задачи: ; . Таким образом, тз закрытая и, следовательно, имеет оптимальное решение. Запишем математическую модель тз:

,

( , ),

где - количество перевезенного груза из в ; - транспортные расходы.

Построим план перевозок методом «минимального элемента», в котором число заполненных клеток равно m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6.

Таблица 10 – Первоначальный план перевозок и цикл пересчета

Запасы груза	Потребности в грузе
	300	500	100	200
100	3	6	5	1
				100
400	1	4	3	2
	300	100 – 		+ 
600	4	3	1	2
		400+ 	100	100 – 

Транспортные расходы ден.ед.

Этап 2. Проверим план на оптимальность. Найдем потенциалы поставщиков и потребителей из системы 6 уравнений , составленных для 6 заполненных клеток. Система имеет бесконечное множество решений. Пусть, например, , тогда остальные потенциалы равны:

; ; ;

; ; ; .

Вычислим оценки свободных клеток по формуле :

11 = u1 + v1 – с11 = -1 + 0 – 3 = -4;	12 = u1 + v2 – с12 = -1 + 3 – 6 = - 4;
13 = u1 + v3 – с13 = -1 + 1 – 5 = 5;	23 = u2 + v3 – с23 = 1 + 1 – 3 = - 1;
24 = u2 + v4 – с24 = 1 + 2 – 2 = 1;	31 = u3 + v1 – с31 = 0 + 0 – 4 = - 4.

Оценка , поэтому план перевозок не оптимален.

Этап 3. Построим для свободной клетки (2,4) цикл. Его составят клетки (2,4), (2,2), (3,2), (3,4). Припишем вершинам цикла, начиная с клетки (2,4), знаки «+» и «–», последовательно чередуя их. Найдем число и переместим его по циклу: вычтем 100 из значений отрицательных клеток и прибавим 100 к значениям положительных. В результате клетка (2,4) стала занятой, , а две клетки (2,2) и (3,4) освободились.

Чтобы число заполненных клеток было равно 6, заполним базисным нулем клетку (3,4), а клетку (2,2) оставим свободной.

Таблица 11 – Оптимальный план перевозок

Запасы груза	Потребности в грузе
	300	500	100	200
100	3	6	5	1
				100
400	1	4	3	2
	300			100
600	4	3	1	2
		500	100	0

Транспортные расходы составляют - уменьшились на 100.

Проверим, будет ли план оптимальным, методом потенциалов. Найдем потенциалы и из системы 6 уравнений , составленных для заполненных клеток.

; ; ;

; ; ; .

Вычислим оценки свободных клеток по формуле :

11 = u1 + v1 – с11 = 0 + 0 – 3 = - 3;	12 = u1 + v2 – с12 = 0 + 2 – 6 = - 4;
13 = u1 + v3 – с13 = 0 + 0 – 5 = - 5;	23 = u2 + v3 – с23 = 1 + 0 – 3 = - 2;
22 = u2 + v2 – с22 = 1 + 2 – 4 = - 1;	31 = u3 + v1 – с31 = 1 + 0 – 4 = - 3.

Отсутствие отрицательных оценок для свободных клеток является признаком оптимальности плана перевозок , при котором значение целевой функции равно .

Этап 4. Экономическое истолкование оптимального решения. Чтобы затраты на перевозку груза из пунктов отправления были наименьшими и составляли 2200 ден. ед., нужно отправить: из в 100 ед. груза; из в 300 ед. груза и в 100 ед.; из в 500 ед. груза и в 100 ед. груза.