Парабола және оның қасиеттері

Анықтама. Парабола деп фокусы деп аталатын нүктеден ара қашықтығы центрі арқылы өтпейтін директрисасы деп аталатын берілген түзуден бірдей ара қашықтықта болатын жазықтықтағы нүктелердің жиынын айтады.

Координат басын фокус пен директрисаның ортасына орналастырамыз.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

р шама (фокустан директрисаға дейінгі қашықтық) параболаның параметрі деп аталады. Параболаның жабайы теңдеуін қорытып шығарайық.

Геометриялық кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px (*)

x = -p/2 - директрисаның теңдеуі.

Параболаның қасиеттері:

1. (*) теңдеудегі у жұп дәрежелі болғандықтан, парабола Ох өсіне қарағанда симметриялы, Ох өсі параболаның симметрия өсі болады.

2. р0 болғандықтан, (*) теңдеуден х0. Сондықтан, парабола Оу өсінің оң жағында орналасады.

3. х  0 болғанда, у  0. Демек, парабола координат басы арқылы өтеді.

4. х шектеусіз өскен сайын у-тің модулі де шектеусіз өседі. О(0; 0) нүкте параболаның төбесі , ҒМ  г М нүктесінің фокальдық радиусыболады.

y² = - 2px , х² = 2pу, х² = - 2pу (р0 ) теңдеулері де параболаларды анықтайды.

Мысал. у² = 8х параболаның бойынан директрисаға дейінгі қашықтығы 4 – ке тең болатын нүктені тап.

Шешу. Параболаның теңдеуінен р = 4 табамыз.

r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y² = 16; y = 4. Ізделінді нүктелер: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Анықтама. Фокусы деп аталатын, бер!лген F нүктесінен және директрисасы деп аталатын, беоілген d түзуінен теңқашықтықта жатқан жазықтық нүктелері жиынын парабола деп атайды.

Параболаның канондық теңдеуі у²=2px немесе х² =2ру

Параболаның директрисасы х= немесе у= .

Анықтама. Фокустары деп аталатын, берілген екі нүктеден қашықтарының қосындысы тұрақты 2а санына тең жазықтық нүктелерінің жиынын эллипс деп атайды.

Эллипстың канондық теңдеуі . Мұндағы 2а – үлкен өсі, 2в – кіші өсі.

Фокустар F₁(-c,0), F₂(c,0), c²=a²-b².

Эллипстің эксцентриситеті e= .

Егер b=a онда теңдеу былай х²+у²=a² жазылады, яғни ол шеңбер теңдеуі болып табылады

Анықтама. Фокустары деп аталатын, берілген екі нүктеден қашықтары айырымының модулі тұрақты 2а санына тең жазықтық нүктелерінің жиынын гипербола деп атайды.

Гиперболаның канондық теңдеуі . Мұндағы 2а – үлкен өсі, 2в – кіші өсі.

Фокустар F₁(-c,0), F₂(c,0), c²=a²+b².

Гипеболаның эксцентриситеті e=

Гипеболаның асимптоталар у=

Қайталау сұрақтары.

Жазықтықтағы екінші ретті сызықтар.

Шеңбер.

Эллипс, оның қасиеттері.

Гипербола, оның қасиеттері.

Парабола, оның қасиеттері

Әдебиеті: [1], [3], [4].

№18-20-сабақ.

Тақырып: Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтар

Мақсаты: Кеңістіктегі тузу, жазықтық ұғымдары, оларға қолданылатын амалдар.

Қарастыратн сұрақтар:

1. Кеңістіктегі жазықтық.

2. Кеңістіктегі түзу.

3. Жазықтықты анықтау тәсілдері

4. Жазықтықтардың өзара орналасуы

5. Жазықтықтың нормальдық теңдеуі. Нүктеден жазықтыққа дейінгі ара қашықтық

4. Жазықтықтардың арасындағы бұрыш. Перпендикулярлық және параллельдік шарттары

5. кеістігінде түзудің анықталу тәсілдері

6. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы

7. Түзулердің арасындағы бұрыш

8. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш

Кеңістіктегі жазықтық.

1. Берілген М₀(x₀, y₀, z₀) нүкте арқылы өтетін және берілген =(A,B,C) нормаль векторына перепендикуляр жазықтықтың теңдеуі

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

2. Ax+By+Cz+D=0 теңдеуі, мұндағы А, В, С коэффициенттерінің кемінде біреу нөлге тең емес, жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Мұндағы =(A,B,C) нормаль векторы.

3. Жазықтықтың нормаланған теңдеуі. Ax+By+Cz+D=0 теңдеуін нормаланған теңдеуіне келтіру үшін, оны нормалаушы көбейткішіне көбейту қажет. Егер D 0 , болса, онда бұл көбейткіштің таңбасы D- нің таңбасына қарама – қарсы алынады. Ал егерде D=0 болса, онда - ның таңбасы ретінде екі таңбаның кез келгенің алуға болады, яғни Ax+By+Cz=0 теңдеудің сол жағын векторының ұзындығына бөлеміз.

1. М₁(x₁ ,y₁ ,z₁), М₂(x₂ ,y₂ ,z₂), М₃(x₃ ,y₃ ,z₃) үш нүктеден өтетің жазықтықтың теңдеуі анықтауыш арқылы табылады

Кеңістіктегі түзу.

1. М₀(x₀, y₀, z₀) нүктесінең өтетін және векторға параллель түзудің канондық теңдеуі

2. Түзудің параметрлік теңдеуі канондық теңдеуден шығады

=t , , немесе

3. М₁(x₁ ,y₁ ,z₁), М₂(x₂ ,y₂ ,z₂) екі нүктеден өтетің түзудің теңдеуі мына формуламен табылады

4. Түзуді екі жазықтықтыңтың қиылысу арқылы былай анықталады

Түзудің бағыттауыш вектордың координатталары

5. d₁ және d₂ түзулер берісін дейік , , онда екі түзудің арасындағы бұрыш мына формуламен анықталады

1. Түзулердің параллелдік және перпендикулярлық шартты.

Егер d₁  d₂, онда

Егер d₁  d₂, онда l₁ l₂+m₁ m₂+n₁ n₂=0

Жазықтықты анықтау тәсілдері

Кеңістікте координаттар жүйесіндегі жиынының теңдеуі деп осы жиынның кез келген нүктесінің координаталары қанағаттандыратын теңдеуді атайды.

Кеңістіктегі қарапайым, бірақ өте маңызды жиындардың бірі – жазықтық теңдеуі.

ТДКЖ-де жазықтың нүктесімен және , параллель емес ішкі кеңістігімен берілсін. Сонда .

, , параллель емес болсын.

болғандықтан

немесе . (4.1)

(4.1) - жазықтығының теңдеуі.

.

; ; .

деп белгілеп жазықтықтың теңдеуін келесі түрде жазуға болады:

(4.2)

2. Жазықтықтың параметрлік теңдеуі.

векторлардың компланарлығын параметрлер арқылы өрнектейік:

, мұнда , нүктенің параметрлері. Осы векторлық теңдеуді координаттық түрде жазып, жазықтықтың параметрлік теңдеуін табамыз:

(4.3)

3. Бір түзудің бойында жатпай үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі.

Кеңістікте аффиндік координаттар жүйесі және , , , үш нүкте берілсін.

жазықтығын нүкте және

,

коллинеар емес векторларымен анықтауға болады. Сонда

(4.4)

жазықтықтың теңдеуі.

4. Нүкте және нормаль вектормен берілген жазықтықтың теңдеуі.

Кеңістікте ТДКЖ, нүкте және вектор берілсін. нүкте арқылы өтетін және векторын перпендикуляр жазықтықты деп белгілейік. Сонда немесе

(4.5)

(4.5) – жазықтықтың теңдеуі.

5. Жазықтықтың жалпы теңдеуі.

Теорема. (4.6) теңдеу жазықтықтың теңдеуі болу үшін сандарының бірі нөлге тең емес (яғни теңдеу бірінші дәрежелі) болуы қажетті және жеткілікті.

(4.6) – жазықтықтың жалпы теңдеуі: Сызықты тәуелсіз , векторлары жазықтықтың бағыттаушы векторлары. Егер координаттар жүйесі – тікбұрышты декарттық боолса, онда

(4.6)

жазықтығына перпендикуляр.

Жазықтықтардың өзара орналасуы

Аффиндік координаттар жүйесінде және жазықтықтар теңдеулерімен берілсін:

(4.7)

жағдайын қарастырайық, егер - (3.7) шешімі, берілген жазықтықтардың қиылысуын зерттеу (4.7) жүйенің үйлесімділігін зертеге келтіріледі. Егер

, ,

онда

, , .

Кронекер-Капелли теоремасы бойынша (4.7) үйлесімді болу үшін шарты орындалу керек. Келесі жағдайлар кездесуі мүмкін:

1. ;

2. ;

3. , .

1. Егер . Сонда екі теңдеу мәндес, яғни олар бір жазықтықты көрсетеді.

2. Егер болса, онда (4.7) үйлесімді және екі жазықтықтың ортақ нүктесі болады. Ал стереометрия аксиомалары бойынша жазықтықтар түзу бойымен қиылысады.

3. Егер , болса, онда (4.7) үйлесімсіз, яғни жазықтықтар қиылыспайды:

Жазықтықтың нормальдық теңдеуі. Нүктеден жазықтыққа дейінгі ара қашықтық

ТДКЖ-де жазықтық теңдеуімен берілсін. Егер , яғни теңдігі орындалса, онда жызықтықтың теңдеуі нормальдық теңдеу деп аталады.

Жазықтықтың теңдеуі нормальдық түрге келтіру үшін оның екі жағын да санына көбейту керек.

Егер нүктесінен жазықтығына дейінгі ара қашықтықты табайық.

, мұнда

және

Осыдан

. (4.8)

Жазықтықтардың арасындағы бұрыш. Перпендикулярлық және параллельдік шарттары

ТДКЖ екі жазықтық берілсін:

Екі жазықтықтың қиылысуында төрт екіжақты бұрыштар құралады. Олардың ішіндегі еі кіші бұрыш екіжақтықтың арасындағы бұрыш деп аталады. және векторларының арасындағы бұрыш бір екіжақты сызықтық бұрышына тең.

Сонда,

,

мұнда - жазықтықтардың арасындағы бұрыш.

егер

егер .

кеістігінде түзудің анықталу тәсілдері

1. түзу нүкте және бағыттаушы векторымен анықталады.

Осыдан:

а) - түзудің канондық теңдеуі;

б) - түзудің параметрлік теңдеуі;

( - парметр).

2. түзу , , нүктелері мен анықталуы мүмкін. Сонда - бағыттаушы векторы деп, ал берілген нүкте - нүктесін алып, түзудің теңдеуін жазуға болады:

.

3. Екі жазықтықтың қиылысуы түзуді анықтайды. және жазықтықтар теңдеулерімен берілсін:

(5.1)

. Егер , онда (4.1) теңдеулер жүйесі түзудің теңдеуі болады.

Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы

және түзулер теңдеулерімен берілсін:

: , ,

: , , .

Төрт жағдай болуы мүмкін.

1. Егер векторлары компланар болса, онда және түзулері бір жазықтықта жатады; яғни

2. Егер болса, онда және түзулері айқас түзулері болады.

3.

4.

Түзулердің арасындағы бұрыш

ТДКЖ және түзулері теңдеулерімен берілсін:

: ,

: .

Кез келген бір нүкте арқылы , түзулерін жүргізейік.

және түзулері төрт бұрыш жасайды. Олардың ең кішісі түзулердің арасындағы бұрыш деп аталады. және векторларының арасындағы бұрыш төрт бұрыштың біріне тең. Түзулердің арасындағы бұрышты деп белгілейік.

Сонда

.

Егер ;

Егер .

Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш

түзу мен жазықтығына теңдеулерімен берілсін:

: ; .

Егер , онда ,

Егер перпендикуляр емес , онда түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш деп осы түзу мен жазықтықтағы проекциясының арасындағы бұрышты атайды, .

Екі жағдай кездесуі мүмкін:

а) ;

б) .

.

Егер: а) ;

б) .

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:

1. Түзудің канондық теңдеуі

2. Түзудің параметрлік теңдеуі

1. Жазықтықтың параметрлік теңдеуі

2. Бір түзудің бойында жатпай үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

3. Нүкте және нормаль вектормен берілген жазықтықтың теңдеуі

4. Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Әдебиеті: [1], [3], [4] , [11], [12], [14].

№20-22 сабақ.

Тақырып: Екніші ретті сызықтардың канондық түрге келтіру. Жазықтағы полярлық координаттар жүйесі

1. Жазықтағы полярлық координаттар жүйесі

2. Конустық қималар

3. Тік бұрышты декарттық координаттар жүйесіндегі конустық қималардың теңдеулері

4. Конустық қималардың диаметрлері