Амплітуда коливань a (ф.В.)
1. Амплітуда коливань - це характеристика механічних коливань.
2. Визначення. Амплітуда коливань - це найбільше відхилення маятника від положення рівноваги.
3. Це скалярна величина.
4.……………………………………………………
5. [A]= м
Період коливань t (ф.В.)
1. Період коливань - це характеристика механічних коливань.
2. Визначення. Період коливань – це час одного повного коливання.
3. Це скалярна величина.
4.
;
Для математичного маятника;
.
Для пружинного маятника.
,
де t-
час коливань; N –
кількість коливань; l-довжина
математичного маятника;
g – прискорення вільного
падіння; m –
маса пружинного маятника;
k – коефіцієнт жорсткості.
5. [T] = с (секунда).
*При
русі математичного маятника з прискоренням
,
у формулі періоду математичного маятника
замість
пишуть
.
Звідки:
маятник
рухається вгору з прискоренням
.
;
маятник
рухається вниз із прискоренням
;
маятник
рухається горизонтально з прискоренням
.
.
*Наведеними вище формулами можна користуватися для невеликих відхилень математичного маятника (α<15º). Бо для великих кутів відхилення
,
Частота коливань (ню) (ф.В.)
1. Частота коливань - це характеристика механічних коливань.
2. Визначення. Частота коливань –це кількість коливань за одиницю часу.
3. Це скалярна величина.
4. =N/t; =1/T.
5. [] = 1/с = Гц ( Герц )
6. Один Герц – це частота, при якій за 1 с коливальна система здійснює одне повне коливання.
16.2 Диференціальне рівняння вільних коливань лінійного гармонічного осцилятора. Затухаючі вільні коливання. Диференціальне рівняння затухаючих коливань
Розглянемо
випадок механічних коливань пружинного
маятника. Для малих деформацій пружини
справедливий закон Гука F(x)
= kx. Опишимо рух важка
за другим законом Ньютона:
,
який у проекціях на координатну вісьмає
вигляд
.
Оскільки
прискорення є другою похідною координати
за часом, отримуємо диференціальне
рівняння коливань.
,
де
.
Двома точками тут позначена друга
похідна за часом.
Величину
називають власною
циклічною частотою гармонічного
осцилятора.
Рішення
наведеного рівняння має такий вигляд:
Особливістю диференціального рівняння гармонійних коливань є той факт, що воно має один і той же вид для коливань різної природи.
Затухаючі вільні коливання
1. Прикладом затухаючих вільних коливань може бути коливання гойдалки після того, як її розгойдали.
2. Визначення. Вільні коливання – це коливання, що виникають у коливальній системі без дії періодичної зовнішньої сили.
3. Умови виникнення: а) коливання виникають у коливальних системах, що мають положення стійкої рівноваги. Цим положенням відповідають мінімуми потенційної енергії системи; б) у початковий момент часу коливальна система повинна бути виведена з положення рівноваги.
4.
Розглянемо затухаючі
коливання на прикладі пружинного
маятника. Для цього врахуємо силу опору
середовища
,
діючу на маятник, яка пропорційна
швидкості його руху v:
або
.
Виразимо
прискорення а
і швидкість v
важка як похідні від координати х
і позначимо:
,
тоді отримуємо диференціальне
рівняння затухаючих вільних коливань
.
Його розв’язком є рівняння
,
де x –
зміщення маятника,
– коефіцієнт затухання,
– циклічна частота затухаючих коливань,
А0
– амплітуда на початку вільних коливань,
φ0
– початкова фаза коливань.
4. Оскільки в коливальній системі завжди існують сили тертя й опору, то енергія механічних коливань перетворюється в теплову, і амплітуда коливань із часом зменшується. Кажуть, коливання затухають.
Якщо сили опору коливанням малі, то при затухаючих коливаннях період коливань практично не змінюється. Тобто період не залежить від амплітуди коливань (Рисунок 16.7). Якщо ж сили опору коливанням значні, то період коливань зменшується. Цю властивість маятників першим помітив і застосував у годинниках Г. Галілей.
*Частота вільних коливань u0 називається власною частотою коливальної системи.
З
формули
видно,
що коливання виникають не у всякому
середовищі, а тільки в тому випадку,
коли
.
У разі ж досить густого й в'язкого
середовища (коли
)
коливання неможливі.
У
разі,
і
.
Тобто виведений із рівноваги маятник просто плавно повертається в положення рівноваги й зупиняється.