Закон Гука
Вследствие деформации стержня происходит его удлинение (сжатие), т.е. происходит перемещение поперечных сечений вдоль стержня.
Перемещение – это изменение положения поперечного сечения по отношению к исходному положению.
Абсолютное перемещение ∆ (т.е. отсчитываемое от неподвижного сечения) произвольного поперечного сечения равно изменению длины части бруса, заключенного между сечением и заделкой.
Относительное перемещение ∆l двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями, т.е. равно абсолютному удлинению этого участка.
Абсолютное удлинение при растяжении или абсолютное укорочение при сжатии ∆L – это изменение начальной длины L стрежня.
Относительное удлинение ε – это отношение абсолютного удлинения (укорочение) к начальной длине L стрежня:
В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению – закон Гука. Математическое выражение этого закона:
Е – коэффициент пропорциональности. Он называется модуль продольной упругости или модуль Юнга. Это физическая константа, характеризующая жесткость материала при линейной деформации. Значения Е приведены в таблице 2 методического пособия «Сопротивление материалов» часть 1. Например, для стали Е = 200 ГПа = 200 • 109 Па. Если брус имеет постоянное поперечное сечение, а продольная сила N во всех сечениях одинакова, то
Тогда получим
Отсюда запишем закон Гука в развернутой форме:
ЕА – жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии). При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется.
Введем
C – жесткость бруса (участка бруса) – численно равна силе, вызывающей удлинение или укорочение единичного размера (например, 1 метр).
Введем
β – коэффициент податливости – численно равен изменению длины бруса под действием единичной осевой силы.
Если брус имеет ступенчато-переменное поперечное сечение, то
Суммирование ведется по всем участкам, в пределах которых сила N – const и площадь A – const.
В общем случае, если сечение бруса или продольная сила меняются непрерывно, то ε – относительное удлинение (укорочение), продольная деформация – это отношение абсолютного удлинения (укорочения) бесконечно малого элемента бруса длиной dx к его первоначальной длине
Тогда закон Гука запишется в виде:
При растяжении бруса его поперечное сечение уменьшается, а при сжатии – увеличивается.
Абсолютная поперечная деформация – это разность соответствующих поперечных размеров после деформации и до нее.
Относительная поперечная деформация ε' – это отношение абсолютной поперечной деформации к соответствующему начальному размеру.
μ – коэффициент Пуассона, коэффициент поперечной деформации – это отношение поперечной деформации ε' к продольной деформации ε:
Коэффициент Пуассона является физической константой данного материала. Коэффициент Пуассона − безразмерная величина, находящаяся в пределах от 0 до 0,5 (для стали μ = 0,3).