5.9. Граничні умови

Граничні умови – умови теплообміну поверхні з довкіллям.

Рівняння нестаціонарної теплопровідності Фур’є має різний розв’язок в залежності від заданих граничних умов, тобто умов протікання процесу нагрівання чи охолодження на поверхні тіла. Найбільш простіший розв’язок отримують, для постійних у часі граничних умов

Розглянемо три типи граничних умов і відповідні до них розв’язки закону Фур’є.

Граничні умови 1-го роду

Температура поверхні раптово піднімається і залишається сталою потягом усього часу нагрівання.

При таких умовах нагрівання розв’язок диференціального рівняння Фур’є набуває вигляду: ,…(5.3)

Де - температура в точці з координатою в момент часу , відповідно, початкова температура,

х

Рис. 5.28 Схема зміни температурного поля при нагріванні за гр. умов 1-го роду

коефіцієнт температуропровідності для матеріалу в якому поширюється тепло, температура на поверхні тіла, та час.

Дано:

- функція Крампа, (інтеграл Гауса) error function

А – аргумент функції Крамна

…………………….(5.58)

Значення функції Крампа знаходять по таблиці в залежності від аргументу.

Основні задачі:

1.Визначити , якщо відомі

2.Визначити час нагрівання елемента розташованого на глибині х від поверхні, якщо відомі

1. обчислюють

2. знаходять по таблиці А

3. обчислюють :

3. Визначити глибину х, на якій через час буде температура , якщо відомі

1. обчислюють

2. знаходять по таблиці А

3. обчислюють

Приклад розв’язання задачі

Дерев’яна стіна захищена шаром цегляної кладки з червоної цегли товщиною 12,5 см.

В умовах пожежі температура на поверхні цегляної кладки з неізольованої сторони підвищилась з =20 С до =800 С і далі залишилась величиною сталою.

Вважаючи цегляну стінку напівобмеженим тілом, визначити температуру в точці дотику її з дерев’яною стіною через 2 години прогріву, зробивши висновок про можливість самозагорання деревини , якщо температура самозапалювання її =295 С.

Дано:

=20 С

=800 С

=2 год.

=0,125 м

=295 С

=?

Розв’язання:

Аналіз розв’язання:

1. ;

2. f(А) додаток 1;

3. A = x/2 ;

4. ;

5. = ;

6. = ;

7. .

Обчислення:

1. середня температура цегляної стіни за період нагрівання в першому наближенні:

=(800+20)/2=410 С;

2. коефіцієнт теплопровідності цегли з поправкою на середню температуру стіни:

= =0,55 Вт/(м С);

3. масової теплоємності цегли з поправкою на середню температуру стіни:

= =1,012 кДж/(кг С);

4. коефіцієнт температуропровідності цегли:

3,6=0,00124 ;

5. А аргумент функції Крампа:

A=0,125/2 =1,27>0,6. (Температурне поле із стінки можна визначити за рівнянням теплопровідності для напівобмеженого тіла);

6. значення функції Крампа (див. додаток):

f(А)=0,92745;

7. температура в точці дотику цегляної стінки з дерев’яною стіною:

=800-(800-20)0,92745=77 С;

8. середня температура цегляної стінки за весь період нагрівання:

=(1/2)(800+(77+20)/2)=424,25 С;

розходження: = <10%, тому відповідь =77 С приймаємо кінцевою.

Відповідь: =77 С.

Граничні умови 2-го роду

Граничні умови другого роду: Густина теплового потоку на поверхні тіла є сталою протягом усього часу нагрівання.

Такі умови часто спостерігаються на пожежі коли температура палаючого об’єкта 800ºС і вище, а об’єкт, що нагрівається, попадає в зону потужного опромінення.

Розрахунок диференціального рівняння Фур’є для таких умов нагрівання має вигляд:

; (5.59)

Інколи необхідно визначити температуру лише на поверхні тіла, тоді і рівняння має вигляд

Для рівняння, при умові (напівобмежене тіло):

- товщина стінки, м

використовують для визначення можливості загорання будівель і споруд, суміжних з тим, що горить.

Загорання можливе, якщо при густині теплового потоку , за час температура на поверхні буде рівна або вище температури самоспалаху горючих матеріалів

на поверхні стінки визначають як: різницю , де

- від палаючого об’єкту;

- втрати поверхні шляхом конвенції і променевим теплообміном з оточуючим середовищем

(5.60)

, або по графіку.

Для деяких речовин відоме . У нашому випадку = . Знайшовши , ми можемо визначити час загорання сумісного об’єкту.

tcп- температура самоспалаху.