1. Предел функций целочисленного аргумента

Пример 1. Вычислить пределы функций целочисленного аргумента при

;      .

Решение примера 1

о

.

0

При вычислении предела в числителе и знаменателе пренебрегли постоянными слагаемыми по сравнению с бесконечно большой величиной ~ ;

2. ;

Здесь были использованы свойства бесконечности (бесконечно больших величин):

.

о о

2. 

о о

Здесь сначала пренебрегли постоянными в числителе и знаменателе по сравнению с бесконечно большими слагаемыми. Затем в числителе пренебрегли величиной по сравнению с бесконечно большой величиной высшего порядка . В знаменателе величина , которой пренебрегаем, может рассматриваться как бесконечно малая по сравнению с величиной ;

о о

2. .

О

Здесь опять постоянной величиной пренебрегали по сравнению с бесконечно большой величиной , которая сама является бесконечно малой по сравнению с , поскольку для степеней имеет место неравенство <  2/3.

В знаменателе по тем же причинам пренебрегли величиной по сравнению с ее квадратом . Последняя является бескончно большой величиной высшего порядка по сравнению с величиной .

Замечание: При сравнении порядков бесконечно больших степенных функций можно пользоваться шкалой бесконечно больших функций);

2. .

Здесь учтено, что бесконечно большие величины в отрицательной степени становятся бесконечно малыми. Действительно, например:

;

о

2. 

0

Здесь пренебрегли постоянными величинами по сравнению с бесконечно большими, а также учтено, что бесконечно большая величина в отрицательной степени является бесконечно малой величиной.

ГРАФИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Продемонстрируем различные ситуации с существованием и не существованием предела функции , изображенные на Рис.2 .

1) ; 

2) ;

Рис. 2

3) ;

4) ;

5) ;

6)  .

Вычислить пределы

Задача 1. Вычислить пределы функций, если они существуют, при и при и изобразить их графически

1.1 .

1.2 .

1.3 .

1.4  .

1.5 ,

1.6 .

1.7 .

1.8  .

1.9 .

1.10 .

Примечание: Если номер варианта больше 10 (больше 20 и. т.д.), то номер задачи соответствует номеру варианта минус 10 (или минус 20 и т.д.) для больших номеров

Задача 2 . Вычислить пределы функций, если они существуют, при и при и изобразить их графически

2.1 .

2.2  .

2.3 .

2.4  .

2.5  .

2.6  .

2.7 .

2.8  .

2.9  .

2.10 .

Дифференцирование

• Производные.

• Дифференциалы.

• Частные производные.

• Полный дифференциал.

• Градиент скалярного поля.